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Álgebralineal
1 0  0  1 0 5 1 0 9 7 1 1 +1/5R    2  R1 2R R 3 3   0 R  0 22    0 4/5 9 5 0 0 13 / 5   22    2 

Como la matriz tiene un renglón (0, 0, 0, –2) indica que el sistema no tiene solución ya que no existe un número que sea –2 y al mismo tiempo sea cero.

Ejercicio 3
1. Encuentra las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas de ecuacionesusando el método de Gauss-Jordan. Explica. a)
x1  x2  x3  7 4 x1  x2  5 x3  4 2 x1  2 x2  3x3  0 3x1  6 x2  6 x3  9 2 x1  5 x2  4 x3  6 5 x1  28 x2  26 x3  8

b)

c) x1  2 x2  3x3  11 4 x1  x2  x3  4 2 x1  x2  3x3  10

2.4. Matriz inversa y matriz adjunta
En esta sección definiremos dos tipos de matrices muy importantes que son básicas en la teoría de matricesy que nos son útiles para la solución de sistemas de ecuaciones. Comencemos con un ejemplo sencillo:  2 5  3 5  Sean A =  y B=  , obtengamos los productos AB y BA. 1 3 2     1
 2 5 3 AB =  1 3   1   5   1 0   3  2   0 1  y BA =  1     5   2 5   1 0  , por  2 1 3  0 1     

1 0 lo tanto podemos decir que AB = BA = I2, donde I2 =   0 1 es la matriz   identidad de 22.

A la matriz B se le llama matriz inversa de A y se denota B=A–1.

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Unidad 2

Definición 2.7. Sean A y B dos matrices de orden nn que satisfacen AB = BA = I donde I es la matriz identidad de orden nn, entonces B se llama matriz inversa de A y se denota por A–1. De donde se tiene que AA–1 = A–1A = I. En este caso se dice que A es invertible. Así comotoda matriz, también existen propiedades para la matriz identidad e inversa. Teorema 2.1. Propiedad de la matriz identidad. Sean A una matriz de orden nn e I la matriz identidad de orden nn, entonces AI = IA = A Teorema 2.2. Propiedades de las matrices invertibles. Sean A y B dos matrices invertibles de orden nn, entonces 1. La inversa es única. 2. (A–1)–1 = A 3. (AB)–1 = B–1 A–1 En estemomento nos podemos hacer las siguientes preguntas: 1. ¿Todas las matrices cuadradas tienen inversa? 2. ¿Qué matrices tienen inversa? 3. Si una matriz tiene inversa, ¿cómo se puede calcular? En esta parte vamos a contestar esas preguntas. Comenzaremos con el caso de 22.
 2 3  Consideremos la matriz A =  y vamos a suponer que es 5   4 invertible. x y –1 Sea A–1 =   , entonces debesatisfacer que AA = I, por lo tanto:  z w

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Álgebralineal
2 AA–1 =   4  3   x y   2 x  3z  5   z w    4 x  5z    2 y  3w   1 0    4 y  5w   0 1    

Recordemos que dos matrices son iguales si todas sus entradas lo son, por lo cual 2x – 3z = 1; – 4x + 5z = 0; 2y – 3w = 0; – 4y + 5w = 1. Con esto se forman dos sistemas de ecuaciones lineales:
2 y  3w  0 2 x 3z  1 y y para resolverlos vamos a escribirlos en  4 y  5w  1  4 x  5z  0 1  y  2 3 0  . Al  4 0 5 1    1 0 x 1 0 y reducirlas obtendremos los resultados   y  z  0 1 w 0 1  Como la matriz original es la misma para ambos sistemas, podemos realizar la reducción por renglones al mismo tiempo considerando la  2 3 1 0 nueva matriz aumentada  al hacerlo obtendremos 5 01  4 

la forma matricial aumentada:  2  4 

3 5

1 0 0 1 
 2  4 

x y z w 
3 5 1 0  R1 1 / 2 R1  1 3 / 2    0 1 5  4 1 0 1/ 2 0  R 2  R 2   2 1  R1  R1  3 / 2 R 2  0 1   1 / 2 0  R 2  R 2  4 R1   0 1  5 / 2 3 / 2   1  2 

 1 3 / 2  0 1  1 0 0 1  x y z w 

De donde obtenemos las soluciones x = –5/2; z =–2; y = –3/2; w = –1
 5 / 2 3 / 2  Entonces A es invertible y su inversa es A–1 =  2 1   

Este ejemplo nos ilustra un procedimiento para encontrar la matriz inversa que siempre funciona y que se puede generalizar a matrices de orden nn.

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Unidad 2
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A 1. Se escribe la matriz aumentada ( A
I) .

2. Se...