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T E M A 3 .- T O R S I Ó N . C A L C U L O D E A R B O L E S Y E J E S .

INTRODUCCIÓN El término árbol se usa para referirse a un elemento giratorio que a una velocidad de rotación determinada transmite una potencia. El termino eje se utiliza para definir una pieza estacionaria sobre la que hay montadas ruedas giratorias. Un árbol de transmisión llamado también árbol principal es aquel querecibe la potencia de una máquina motriz y la transmite a maquinas conectadas a el por medio de correas, cadenas o engranajes. El hecho de transmitir una potencia desde un motor implica una velocidad angular (que debe expresarse en radianes/segundo) y un par que genera en el árbol la denominada torsión. En general se dice que cuando un miembro estructural se carga con momentos que producen rotaciónalrededor de su eje longitudinal se produce torsión. Este tipo de solicitaciones se presentan en la Figura 1, en la que cada pareja de fuerzas genera un par de fuerzas o momento de valor igual al producto de las fuerzas por la distancia entre sus líneas de acción. El primer par tendrá de valor M1 = P1· d1 y el segundo par tendrá de valor M2 = P2· d2.

TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR Sea unabarra recta de sección circular de radio R empotrada en uno de sus extremos sometida en el extremo libre a una torsión generada por un par M. Una barra trabajando de esta forma se dice que está sometida a torsión pura. Si se analiza una sección transversal se observa que ha girado un ángulo, que los radios siguen rectos y que permanece plana y circular. Se puede considerar que la longitud de labarra y su radio, si el ángulo girado es pequeño, no varían. Durante la torsión ocurre una rotación alrededor del eje longitudinal de un extremo de la barra respecto al otro. Si el ángulo girado es φ, ángulo que se conoce como ángulo de torsión, una línea generatriz de la barra nn girará pasando a la posición nn'. Debido a la rotación un elemento de longitud infinitesimal dx en la barra girará unángulo dψ y si se considera la superficie determinada por ψ abcd en el elemento de longitud pasará a ocupar la a b'c'd. Los vértices ya no miden 90º.
φ φ
M d x dx L b dγ γ b' c c' dψ ψ

M n
M M

a

n n'

dx

dA

r

P1

ρ ρ

dρ ρ

d1

P2
τ τ

Figura 2.- Elemento de barra sometida a torsión pura.

d2 P1 P2

El ángulo dγ de la figura anterior se calcula como sigue: tg dγ= bb' ab

Figura 1.- Barra sujeta a torsión.

El par o momento es un vector perpendicular al plano determinado por la fuerza y a distancia al l punto considerado. En este tema se van a estudiar fórmulas para la determinación de tensiones y deformaciones en arboles y ejes sometidos a torsión y también a torsión combinada con otras cargas.

Y como el ángulo es muy pequeño, la tangente delángulo tiende al ángulo, por lo que: dγ = γ Como: bb' ab

bb' = r.dψ y ab = dx
22

Se tiene que: dγ = r.d ψ dx

De donde despejando se tiene: τ= M•r Io (I)

Un par M aplicado en el extremo libre de una barra de sección transversal circular, cuyo otro extremo está empotrado origina en una sección AA un estado de tensión que puede deducirse aplicando el Principio de Fragmentación de laEstática al sólido parcial comprendido entre la sección AA y el extremo libre en el que se aplica el par.
A M τ τ B τ τ τ τi ri r dA

La ecuación (I) se denomina formula de la torsión y establece que el esfuerzo cortante máximo es directamente proporcional al par aplicado y al radio de la sección circular de la barra e inversamente proporcional al m omento polar de inercia. Como en una barra maciza desección circular el momento polar de inercia vale: π.d4 32

Io =

A Figura 3.- Barra en voladizo de sección circular con un par aplicado en su extremo libre.

Y r = d/2 , sustituyendo en la formula de torsión se tiene que: τmax = 16.M π.d3

La resultante de las acciones tangenciales de la parte izquierda sobre el sólido considerado a lo largo de la sección debe ser nula ya que el...
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