ingenieria industrial

2.1 DEFINICION ELEMENTAL DE PROBABILIDAD

Si se lanza una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que resulte cara? La mayoría de la gente diría que esta probabilidad debe ser 0.5 o algo muy cercano a 0.5. Al seguir preguntando, se puede determinar que para la mayoría de la gente el significado del 0.5 es que aproximadamente la mitad de las veces, en lanzamientos repetidos, la monedadebe caer con el lado de la cara hacia arriba. A partir de allí, el razonamiento se vuelve más confuso. ¿En 10 lanzamientos se tendrán exactamente 5 caras? ¿En 50 lanzamientos se obtendrán exactamente 25 caras? Es probable que no. Por lo tanto, se supone que 0.5 es una frecuencia relativa a largo plazo, o sea, frecuencia relativa límite a medida que aumenta el número de lanzamientos.
Para ver loque pasaría en la realidad, se observarán datos de lanzamientos reales generados, por John Kerrich, matemático detenido en Dinamarca durante la Segunda Guerra Mundial. Kerrich tiró una moneda 10 000 veces, y registró el número de caras obtenidas. Después de 10 lanzamientos tuvo 4 caras, lo cual es una frecuencia relativa de 0.4. Luego de 100 lanzamientos obtuvo 44 caras (0.44); a los millanzamientos obtuvo 502 caras (0.502); y al completar los 10 000 lanzamientos obtuvo 5067 caras (0.5067). La frecuencia relativa de caras permaneció muy cercana a 0.5 después de los 1000 lanzamientos, aunque la cifra para 10 000 está un poco más alejada de 0.5 que para 1000.
Si n es el número de ensayos de un experimento, como por ejemplo, el número de lanzamientos de una moneda, parece que entonces sepodría definir la probabilidad de un evento E, como por ejemplo obtener cara, mediante:


Pero, ¿convergerá siempre este límite? Si es así. ¿siempre se podrá determinar si converge, sin llevar a cabo el experimento muchas veces? Por esta y otras razones, la anterior no es una definición correcta de probabilidad, desde el punto de vista matemático, aunque es una propiedad que debe ser válida, encierto sentido. Se debe encontrar otra definición de probabilidad, que permita que el resultado al límite sea válido como una consecuencia. Esta definición se presentará en la Secc. 2.3.

2.2 BREVE REPASO DE NOTACION DE CONJUNTOS

Antes de entrar en una descripción formal de la probabilidad, es necesario describir la notación de conjuntos que se utilizará. Supóngase un conjunto S que consisteen los puntos identificados con 1, 2, 3 y 4. Esto se denota con S = {1, 2, 3, 4}. Si A = {1, 2} y B = {2, 3, 4}, entonces A y B son subconjuntos de S, lo cual se indica mediante A  S y B  S (B “está en” o “ está contenido en” S). El hecho de que 2 es un elemento de A se denota con 2  A. La unión de A y B es el conjunto que consiste en todos los puntos que están en A, en B, o en ambos. Esto serepresenta mediante A  B = {1, 2, 3, 4}. Si C = {4}, entonces A  C = {1, 2, 4}. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que consta de todos los puntos que están tanto en A como en B y se representa mediante A  B o, simplemente mediante AB. Para el ejemplo anterior, A  B = AB = {2}, y AC = . Donde  denota el conjunto vacío, que es el conjunto que no contiene puntos.El complemento de A con respecto a S es el conjunto de todos los puntos en S que no están en A y se representa mediante . Para los conjuntos específicos anteriores. {3, 4}. Se dice que dos conjuntos son mutuamente excluyentes, o disjuntos, si no tienen puntos en común, como los conjuntos A y C anteriores.
Se puede emplear diagramas de Venn para representar los conceptos deunión, intersección, complemento y conjuntos disjuntos, como en la Fig. 2.1.
Se puede ver fácilmente. en la Fig. 2.1, que



para todo conjunto A. Otras relaciones importantes entre los eventos son las leyes distributivas:




y las leyes de DeMorgan:




Es importante poder relacionar las descripciones de conjuntos con su notación simbólica, mediante los símbolos dados...