Ingenieria

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Producto punto
El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
[pic]

Expresiónanalítica del producto punto

[pic]

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 +(1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

[pic]
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas [pic]= (−3, 2, 5) en una base ortonormal.
[pic]Expresión analítica del ángulo de dos vectores

[pic]
Determinar el ángulo que forman los vectores [pic]= (1, 2, −3) y [pic]= (−2, 4, 1).
[pic]
[pic]

Vectores ortogonales

Dos vectores sonortogonales si su producto escalar es 0.
[pic]

Ejemplo

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).
[pic]
[pic]
[pic]Propiedades del producto punto

1Conmutativa

[pic]

2 Asociativa

[pic]

3 Distributiva

[pic]

4

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre espositivo.
[pic]

Interpretación geométrica del producto punto

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
[pic]
[pic]
[pic]
OA' esla proyección escalar de [pic]sobre el vector [pic].
El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de [pic], de modo que obtenemos otro vector con lamisma dirección.
[pic]

Ejercicio

Dados los vectores [pic]y [pic]hallar:
1. Los módulos de [pic]y [pic]·
[pic]
[pic]
2. El producto escalar de [pic]y [pic]·
[pic]
3. El ángulo que forman.[pic]
[pic]
4. El valor de m para que los vectores [pic]y [pic]sean ortogonales.
[pic]

Producto cruz

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es...
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