Ingenieria

Interpolación polinómica

|En análisis numérico, la interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio.|
|Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por |
|todos los puntos.|

Definición
Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas x0,x1,...,xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio pm(x) de grado menor o igual a m, cumpliendo
[pic].
A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f.
Motivación delpolinomio interpolador
La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.
El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antesmencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.
Cálculo del polinomio interpolador
Se dispone de varios métodos generales de interpolación polinómica que permiten aproximar unafunción por un polinomio de grado m. El primero de estos polinomios es el método de las diferencias divididas de Newton. Otro de los métodos es la interpolación de Lagrange, y por último, la interpolación de Hermite.
Método de las diferencias divididas de Newton
Sea [pic]una variable discreta de [pic]elementos y sea [pic]otra variable discreta de [pic]elementos los cuales corresponden, porparejas, a la imagen u ordenada y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:
[pic]
Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.
El polinomio de grado [pic]resultante tendrá la forma

definiendo [pic]como
[pic]
y definiendo [pic]como
[pic]
Loscoeficientes [pic]son las llamadas diferencias divididas.
Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes [pic]. El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador sontodos aquellos que involucren a [pic].
Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función [pic].
[pic]
queda definido, como:
[pic]
Se muestra ahora una tabla mnemotécnica con las diferencias divididas de una cierta función [pic]dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
Interpolación de Lagrange
Sea [pic]la función a interpolar, sean [pic]las abscisas conocidas de [pic]y sean [pic]los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado [pic]de Lagrange es un polinomio de la forma

[pic]

donde [pic]son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:

[pic]

Nótese que en estas condiciones, loscoeficientes [pic]están bien definidos y son siempre distintos de cero.
Se muestra en el ejemplo siguiente el cálculo de un polinomio interpolador de Lagrange usando interpolación por Lagrange y diferencias divididas de Newton:
Ejemplo: Se quiere hallar el valor de la función [pic]para [pic]usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.
Para ello se usan los siguientes datos:

[pic]...