Ingenieria

LOS NUMEROS COMPLEJOS Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERIA

1. INGENIERIA ELECTRICA

1. INTRODUCCION: los números Complejos pueden ser utilizados para el análisis de señales en frecuencia, determinación de polos y ceros de las funciones o modelos matemáticos y estabilización de procesos de control.

Permiten representar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuandose representan corrientes y tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número complejo. Una parte real, una imaginaria, que representan resistencia (real) inductancia y capacitancia (imaginario).

2. Análisis de Respuesta en Frecuencia

El análisis de respuesta en frecuencia es la técinica donde una señalde prueba senoidal es usada para medir puntos sobre la respuesta de frecuancia de una función de transferencia o dunción de impedancia. El básico set- up es mostrado en la Figura 1 en la cual una onda senoidal u(t) es aplicado para un sistema con la función de transferencia G(s). Después de que la oscilación momentanea desarrollada para condiciones iniciales ha decaído,
la slaida y(t)viene a ser una onda senoidal pero con una magnitud diferente Y y fase relativa Φ. La magnitud y la fase de la salida y(t) están de hecho relacionadas con la función de transferencia G(s) a la frecuencia (ω rad/s) de
la salida sinusoidal.

u = U sin ωt y = Y sin ( ωt + Φ)
G(s)

Fig. 1 Función de transferencialineal con una entrada de onda senoidal.

Fig. 2 Entrada de onda senoidal y la respuesta en estado estable vista en el osciloscopio. La notación vectorial correspondiente se muestra a la derecha.

La fase relativa y magnitud de las formas de onda de entrada y salida pueden ser directamente medidos de un osciloscopio (Figura 2), aunque es inherente de pobre exactitud y en lapráctica más métodos sofisticados son requeridos para remover ciertos errores los cuales ocurren debido al ruido, no linealidad y retroalimaentación.

La gran ventaja del análisis de respuesta en fecuencia se basa en su frecuencia selectiva natural. Sólo un componente del espectro de frecuencia es extraído y la correspondiente respuesta en esa frecuencia puede ser desarrollada con granprecisión. Esto tiene significativas ventajas donde el sistema bajo consideración tie- ne resonantes características. Específicamente, las distintas resonancias pueden ser excitados y estudiados separadamente sin alterar otros modos oscilatorios.

Im

Fig. 3a

Re

ωlocus of G (j ω)

Fig. 3b El eje de frecuencia normalmente se expresa en escala logaritmica.

log |G(ω)|

GAIN

ω

Φ ω

PHASE

Fig. 3 Información de la respuesta en frecuencia.

Mediante mediciones secuenciales la ganancia y la faseen varias frecuencias, una imagen del sistema de re- spuesta en frecuencia puede ser construido y trazado tanto como un diagrama Nyquist en el plano complejo (Fig. 3a) o una gráfica de ganancia contra frecuencia (Figura 3b.). Los siguientes son llamados diagramas de Bode porque de su uso se diseñan métodos basados en sistemas de control de Bode.
En adición a su frecuencia selectivanatural, el análisis de respuesta en frecuencia tiene la ventaja que las on- das senoidales tienen bien definidasmsus características de amplitud. En particular, la amplitud máxima de
una onda senoidal es solamente √2 veces más grande que el valor de la raiz cuadrada principal. El radio

CF =
peak value of signal
root mean square value of signal

Está en términos del factor cumbre...