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La Matemática como ciencia ha proporcionado al hombre las más poderosas herramientas para enfrentar los más disímiles problemas de la cotidianidad. La mayoría de los campos del saber humano se valen de técnicas matemáticas para indagar en la explicación de relaciones causales de los procesos y fenómenos que ocurren en cada especialidad. Hoy en día resulta frecuente encontrarnos artículos de lasciencias médicas, químico-farmacéuticas, ciencias sociales (o de cualquier área general del saber), en que se haga referencia a algún concepto o ente matemático. Especialmente en las ciencias económicas son utilizados conceptos como la derivada, la integral, las ecuaciones diferenciales, las series temporales, entre otros. Los métodos más modernos de medición de la eficiencia y la optimizacióneconómica tienen como sustrato esencial algún modelo matemático.
Probablemente uno de los conceptos más útiles y aplicables en la Economía sea la derivada de una función. Cualquier curso de matemática superior contiene, ineludiblemente, un tema dedicado especialmente a las aplicaciones de la derivada. Generalmente se acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al área específica del conocimientodesde donde se aborde la temática, en dos partes. De una, la utilización de la derivada en la obtención de soluciones estrictamente matemáticas; a saber: el cálculo de límites indeterminados y el trazado general de curvas. De otra, las aplicaciones específicas en la especialidad de que se trate. El objetivo de este trabajo es ilustrar las aplicaciones generales de la derivada, con la intención deque este escrito sea utilizado por estudiantes de Economía. Se estructura en tres apartados: el primero, dedicado a la resolución de límites indeterminados; el segundo, al trazado de curvas; y por último, la resolución de problemas económicos de optimización.
Toda aplicación formalizada de la ciencia tiene su nacimiento en un problema de la práctica objetiva. Probablemente uno de los másbonitos y útiles ejemplos de utilización de la optimización se puede encontrar en el siguiente suceso de la segunda mitad del siglo XX :
En febrero de 1953 se produjo en Holanda la inundación más importante de su historia. Los diques que protegían el país fueron arrasados y murieron más de 1800 personas. Los daños se cifraron en el 7 % del Producto Interno Bruto de aquel año. Se creó una comisión deinvestigación sobre los hechos y sobre cómo prevenir desastres semejantes en el futuro. La reconstrucción de los diques de tal forma que la seguridad fuera total, requería desembolsos astronómicos, y podía no ser factible. El problema real era, entonces, lograr una especie de equilibrio, entre costos y seguridad: diques más altos eran más costosos, pero reducían las posibilidades de futurasinundaciones. Por tanto, la comisión se enfrentó al problema de seleccionar la altura óptima de los diques. Estos tipos de equilibrios son centrales en economía. Conducen a problemas de optimización de un tipo que el análisis matemático maneja de forma natural. En este capítulo ilustraremos cómo resolver este tipo de problemas económicos.
I. APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL CÁLCULO DE LÍMITES
Loslímites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la factorización, generalmente se resuelven por la conocida en la matemática como Regla de L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto de derivada.
Teorema de L´Hôpital
Supongamos que las funciones y están definidas y son derivables en cierto entorno de . Si , y en cierto entorno de , entonces, si existe (finito oinfinito), existe también , y se cumple que: = .
La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones y no están definidas en , pero 0 y .
Si , y y satisfacen las condiciones puestas sobre las funciones y , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a , y obtenemos: = ; aplicar sucesivamente.
En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las transformaciones...
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