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Problema 9:
Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 pesos el litro de aceite C y a 125 pesos el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceiteD". Si disponemos de un máximo de 3125 pesos, se pide:
Representa gráficamente los modos de acogerse a la oferta.
Acogiéndonos a la oferta, ?Cuál es la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? ?Cuál es la máxima de C?
SOLUCIÓN:
a. Identificamos las variables de decisión.
x= litros comprados de aceite C
y= litros comprados de aceite D
b. Función objetivo.
Sujeto a.Max: Z = 2X + Y
Las restricciones del problema son:

Y la zona mediante la cual podemos acogernos a la oferta es la representada por cada uno de los puntos de la parte sombreada en la siguiente gráfica.
1. MÉTODO GRÁFICO
ECUACION r ECUACION S ECUACION t ECUACION u
x + y ≥ 6 Y = 6 - X Y/2 ≤ X y = x2 x ≤2*y y = x/2 2x + y ≤ 25 Y = 25 - 2X
0 6 0 0 0 0 0 25
6 0 3 6 10 5 10 5
8 -2 8 16 12 6 12.5 0

Grafica de la función objetivo.
Si hacemos
2X = - Y





C. La mínima cantidad de aceite D que debemos comprar acogiéndonos a la oferta (punto más bajo de la zona) es el punto intersección de las rectas r,t:

La máximacantidad de aceite C para acogernos a la oferta (punto más a la derecha de la zona) es la intersección de las rectas t,u:

Conclusión, la mínima cantidad de D es 2 litros y la máxima de C 10 litros.

2. DESARROLLO DE METODO SIMPLEX
Para ello necesitamos las restricciones y la función objetiva:
Maximizar: Z = 2X + Y
Sujeto a:

Las restricciones se convierten en ecuaciones, así:
Maximizar: Z= 2X + Y
Sujeto a:
X +Y + S1 = 6
-2X + Y + S2 =0
X - 2Y + S3 = 0
X; Y; S1; S2; S3 ≥ 0

Donde S1; S2; S3, son las holguras para convertir desigualdades en las ecuaciones
X = 0 Y = 0

S1 = 6 , S2 = 0 , S3 = 0

Z0 - 2X1 - Y - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0

Básica Z0 X Y S1 S2 S3 SOLUCION
Z0 1.00 -2.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
S1 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.006.00
S2 0.00 -2.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00
S3 0.00 1.00 -2.00 0.00 0.00 1.00 0.00

CONDICION DE OPTIMIDAD
Básica SOLUCION X RAZONES
S1 6.00 1.00 6.00
S2 0.00 -2.00 0.00
S3 0.00 1.00 0.00
mínimo = 6.00
Entonces la variable que sales es S1.
Básica Z0 X Y S1 S2 S3 SOLUCION
Z0 1.00 -2.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
S1 0.00 1.00
1.00 1.00 0.00 0.00 6.00
S2 0.00 -2.00 1.00 0.00 1.00 0.000.00
S3 0.00 1.00 -2.00 0.00 0.00 1.00 0.00

MÉTODO DE GAUSS JORDAN
La eliminación de X de todas las ecuaciones menos el pivote se logra sumando un múltiplo adecuado de la nueva ecuación pivote a cada una de las otras ecuaciones.
PIVOTE. (S1/MIN.) 0/6 =0.00 1/6 =0.17 1/6 = 0.17 1/6 = 0.17 0.00 0.00 6/6 = 1.00

PASO 01:
Ecu. Z0 ant: 1.00 -2.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Ecu. Pivote: *(12)0.00 2.00 2.00 2.00 0.00 0.00 12.00
Nueva Ecuación: Zo 1.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 12.00

PASO N°02
Ecu. S2 ant: 0.00 -2.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00
Ecu. Pivote: *(12) 0.00 0.17 0.17 0.17 0.00 0.00 1.00
MULTIPLO 0.00 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Suma: Nuevo Ecu. 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00

PASO N°03
Ecu. S3 ant: 0.00 1.00 -2.00 0.00 0.00 1.00 0.00
Ecu. Pivote:*(-6) 0.00 0.17 0.17 0.17 0.00 0.00 1.00
MULTIPLO 0.00 -1.00 -1.00 -1.00 0.00 0.00 -6.00
Suma: Nuevo Ecu. 0.00 0.00 -3.00 -1.00 0.00 1.00 -6.00

Paso n°04
EL CUADRO DE RESUMEN QUEDARIA ASI:
Básica Z0 X Y S1 S2 S3 SOLUCION
NUEVO : Z 1.00 0.00 1.00 2.00 0.00 0.00 12.00
X 0.00 0.17 0.17 0.17 0.00 0.00 1.00
S2 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00
S3 0.00 0.00 -3.00 -1.00 0.00 1.00 -6.00...