Ingenieria

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Gu´ de Ejercicios N◦ 1
ıa
Coordinaci´n de ´lgebra II
o
a
Ricardo Santander Baeza
Agosto del 2012
El Trabajo dignifica
al ser humano
Estimados estudiantes, los profesores que componen esta coordinaci´n, les proponen estos ejercicios con
o
el objetivo de que a trav´s del trabajo que significa analizarlos, comprenderlosy finalmente resolverlos,
e
consigan en el m´s breve plazo, si es que a´n no lo han hecho, sentir por una parte el placer de estudiar
a
u
matem´tica, y por otra desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente, operar con:
a
[1] Grupos y homomorfismos de grupos
[2] Matrices y Determinantes
[3] Sistemas de ecuaciones lineales

Algunas sugerencias
[1] Leacuidadosamente el problema
[2] Reconozca lo que es informaci´n (dato), de lo que es ”inc´gnita”, o lo que a usted se le consulta
o
o
[3] Trate de entender en la forma m´s clara para usted, lo que se le pide, en particular si puede usar
a
”sin´nimos”, que le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor !. Este acto nunca esta de m´s
o
a
[4] Analice sus datos extrayendo la informaci´n quecorresponde, orientado por su entendimiento de lo que
o
debe probar.
1. Grupos y Homomorfismos de Grupos

[1] Sea G = {a ∈ R | − 1 < a < 1}. Define en G la operaci´n binaria: a ∗ b =
o

a+b
1 + ab

[a] Determine (si existe), el elemento neutro respecto de la operaci´n ∗
o
[b] Determine (si existe), el elemento inverso para cada elemento de G.
[c] Demuestre que que ∗ es una operaci´n conmutativa.o
[2] En R − {1} define la operaci´n binaria a ∗ b = a + b + ab.
o
[a] Determine si (R − {1}, ∗) es grupo
[b] Determine, si es posible las soluciones de la ecuaci´n 2 ∗ x ∗ 3 = 7
o
[3] Sea f : R4 −→ R3 [x] tal que f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x1 · x3 + 5x2 · x2 − x3 · x + 3x4
1

2

Coordinaci´n de Algebra II M´dulo B´sico
o
o
a

[a] Demuestre que f es un homomorfismo de grupos
[b]Determine ker(f )
[c] Determine Img(f )
[4] Sea f : MR (2) −→ R tal que f

x11 x12
x21 x22

= 2x11 + 5x12 − x21 − x22

[a] Demuestre que f es un homomorfismo de grupos
[b] Determine ker(f )
[c] Determine Img(f )
[5] Sea f : MR (1 × 3) −→ R2 tal que f

x11 x12 x13

= (2x11 + 5x12 , x11 − x13 )

[a] Demuestre que f es un homomorfismo de grupos
[b] Determine ker(f )
[c] DetermineImg(f )
[6] Sea f : MR (2 × 3) −→ MR (2) tal que f

x11 x12 x13
x21 x22 x23

=

(x11 − 5x12 ) (x21 − x13 )
x22
x11 + x23

.

[a] Demuestre que f es un homomorfismo de grupos
[b] Determine ker(f )
[c] Determine Img(f )
[7] Sea f : MR (2) −→ MR (2) tal que T (A) = A − At
[a] Demuestre que f es un homomorfismo de Grupos
[b] ¿f es un isomorfismo?. Justifique su respuesta.
[8] Considere lasfunciones f : MR (2) −→ R2 [x] tal que f

ab
cd

= bx2 + (a + c)x y g : R3 −→ R2 [x] tal

que g(a, b, c) = ax2 + cx − b.
[a] Demuestre, si es posible, que f es un homomorfismo
[b] Demuestre, si es posible, que g es un isomorfismo
[c] Demuestre que g−1 ◦ f no es sobreyectiva
[9] Sea h : MR (2) −→ MR (2) tal que h

a11 a12
a21 a22

=

a11 + 2a12 + 3a21 a12 − a21 + a22
a21
a22 −a21

.

Coordinaci´n de Algebra II M´dulo B´sico
o
o
a

3

[a] Demuestre que h es un isomorfismo de grupos
[b] Determine h−1
[10] Sea h : R2 [x] −→ R3 tal que h(a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + 2a1 − 3a2 , a0 + a2 , a1 − 3a2 )
[a] ¿Es h un isomorfismo?
[b] Si su respuesta es afirmativa exhiba h−1
[11] Sea h : Rn −→ Rn un homomorfismo no nulo. Demuestre que si h ◦ h = 0 entonces h no esinyectiva
[12] Demuestre que la relaci´n de isomorfismos entre grupos es relaci´n de equivalencia.
o
o
4

[13] Sea T : MR (4) → R tal que T ((aij )) =

aii
i=1

[a] Demuestre que T es un homomorfismo
[b] Demuestre que T no es inyectivo
[14] Sea T : R3 → R3 tal que T ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + x2 , x2 − x3 , 2x1 − x3 )
[a] Demuestre que T es un isomorfismo
[b] Demuestre que T ◦ T es tambi´n...