Ingeniero industrial

CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD I: NÚMEROS REALES
LOS NUMEROS REALES:
ENTEROS
FRACCIONARIOS IRRACIONALES
-10/3 -5/2 -1/2 1/9 3/2 5 e π
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
RACIONALES
DESIGUALDADES: una desigualdad es como una ecuación, solo que en el lugar donde
esta el símbolo =; va uno de estos cuatro símbolos: >; < ;  ;  ; que significan mayor
que, menor que, menor o igual que, mayor o igual que,respectivamente.
EJEMPLOS DE:
ECUACIONES DESIGUALDADES
A) DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
2 x – 3 = 8 2 x -3 < 8
B) DE 1ER. GRADO CON DOS VARIABLES
3 x + y = 5 3 x + y  5
C) DE 2DO. GRADO CON UNA INCOGNITA
x2+ 5 x = 3 x2 + 5 x  3
D) SISTEMAS
x + y = 8 x + y > 8
x2 + y2 = 64 x2 + y2  64
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1.- Si un miembro de la desigualdad se multiplica o dividepor una cantidad positiva; la
desigualdad no cambia; es decir que conserva el símbolo de relación existente.-
4 >2  cierto; si multiplicamos por 5 obtenemos:
+
5 (4) > 2 (5)  20 > 10 ; lo cual sigue siendo cierto
4 >2  cierto; si dividimos ÷ 2 obtenemos:

2
4
2
2
 2 > 1; lo cual sigue siendo cierto
2.- Si un miembro de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidadnegativa;
la desigualdad si cambia, es decir que se invierte el símbolo de relación.-
-4 < 10  cierto; si multiplicamos por -2 obtenemos:
Cambió
+8 > -20  para que siga siendo cierto
-4 < 10  cierto; si dividimos entre -2 obtenemos:
Cambió
2 > -5  para que siga siendo cierto
2 > 0
-2 -1 0 1 2
-1 > -2
EJEMPLOS DE DESIGUALDADES DE 1ER. GRADO CON UNA INCOGNITA
4X + 6 < 20 4 X +10 > 2X X+5> 13-3 X
4X < 20 -6 4X-2X > -10 3X+X > 13-5
4X -10 4X>8
X <
4
16 X>-
2
10 X>
4
8
X X X
4 -5 0 1 0 2
Todo número situado
a la derecha de otro
en la recta real, será
Mayor
X-5 X>2
4
3 X  X + 1 -1 - 3
x
3X  4(X+1) 3
x
 1
3X  4 X+4
-4X +3 X  4 X  3
-1 X  4
X 
1
4

X
X
4 0 0 3
A) 5X +1  7 X -5
B) 2
x
+ 3
x
< 5
C) 2
4 1

x 
< 2X + 3
D) 4
x
+ 3  1– X
E) 2 6
5 3


x
x
< -
2
1
F)
2
12
x 
> -3
NOTA: LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACION ES UN NUMERO O MAS, DEPENDIENDO
DEL GRADO
LA SOLUCION DE UNA DESIGUALDAD ES UN CONJUNTO DE NÚMEROS LLAMADO
INTERVALO
X 3
X -4
UN INTERVALO PUEDE SER:
ABIERTO: Cuando los Números extremos no se incluyen
EJEMPLO: Se solicita empleada entre 18 y 26 años.
(18 ; 26) O BIEN
X
18 26
CERRADO:Cuando los Números extremos si se incluyen:
EJEMPLO: El horario en el banco en sábado es:
DE LAS 10:00 HASTA LAS 14: 00 HRS.
[10 ; 14] O BIEN
X
10 14
INFINITO: Se indica una referencia pero la otra queda abierta
EJEMPLO: En un estado de cuenta dice: pague antes del 22 de Agosto del 2005
X O BIEN (  ; 22 )
22
EJEMPLO: ESTE CENTRO RECREATIVO SE ABRIRA AL PUBLICO A PARTIR DEL 1°
DE SEPTIMBRE2005
X O BIEN [ 1° ;  )
1°
  SIMBOLO DE INFINITO
METODOS PARA RESOLVER DESIGUALDADES CON VARIABLE EN EL
DENOMINADOR
1.- Agrupar todos los términos en el primer miembro
2.- Efectuar la suma o resta generada
3.- Encontrar los valores que hagan cero el numerador y el denominador
4.-Ubicar estos valores en la recta real
5.-Seleccionar un Nº de prueba de cada intervalo y sustituirlo en ladesigualad
6.- Definir la respuesta
EJEMPLO:
2
12
x 
> -3 4.- SI NO SI
1.-
2
12
x 
+ 3 = -3 -2 1 2 4
2.- 2
12 3( 2)

 
x
x
= VALORES ARBITRARIOS DE PRUEBA
CIERTO
2
12 3 6

 
x
x
= 5.- X= -3;
3 2
12
 
>-3 ;
5
12

> -3; -
5
12 >-
5
15
FALSO
2
3 6


x
x
=
den
num X=1;
1 2
12

>-3;
1
12

>-3 ; -12 > -3
3.-PARA EL NUMERADOR: CIERTOX = 4;
4 2
12

> -3 ;
2
12 > -3 ; 6 > -3
3X + 6 = 0
3X = -6
X =
3
 6 6.- LA SOLUCION ES:
X = -2
X X
-2 2
PARA DENOMINADOR:
X-2 = 0 O BIEN:
 X= 2 X < -2 Y X > 2
O BIEN:
(-  ; -2)  (2 ; + )
DESIGUALDADES DE 2° GRADO CON UNA INCOGNITA:
METODO:
1. Agrupar en el 1° miembro todos los términos, reducir e igualar a cero
2. Resolver la ecuación cuadrática generada en el...