Ingeniería mecánica

Capítulo 2: Discretización de una Señal

Capítulo 2. DISCRETIZACIÓN DE UNA SEÑAL.

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Sistemas de Control en Tiempo Discreto

2.1 INTRODUCCIÓN.
Los sistemas de control en tiempo discreto pueden operar en parte en tiempo discreto, y en parte en tiempo continuo. De esta manera, en dichos sistemas de control, algunas señales aparecen como funciones en tiempo discreto (a menudo en laforma de una secuencia de números o un código numérico), y otras señales como funciones en tiempo continuo. Al analizar sistemas de control en tiempo discreto, la teoría de la transformada z juega un papel importante. [REF. 1]. El objetivo de este capítulo es presentar las formas de discretización más usadas en teoría de control: por invarianza al impulso y por invarianza al escalón.

2.2MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS.
Dada una señal analógica f ( t ) su discretización mediante impulsos que se producen en intervalos de longitud T, consiste en sustituir dicha función f ( t ) por una sucesión f ( n T ) con n = 0, 1, 2, ... Ejemplo: Primero definimos la función f ( t ) = 2 + s i n ( 4 t ) , y la mostramos a continuación.

> restart; > f := t -> 2 + sin(4*t); plot(f(t), t = 0.1..10);
f := t→ 2 + sin( 4 t )

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Capítulo 2: Discretización de una Señal

Ahora sustituimos dicha función por una sucesión f ( n T ) en los instantes de muestreo n = 0, 1, 2, ..., 10 y la dibujamos, apreciándose que ambas funciones se asemejan: las flechas señalan el valor de la función en los instantes de muestreo, y si uniéramos dichos valores, se obtendría la función original. La función de Maple'with(plottools)' sirve para trabajar con una serie de utilidades, entre las que se encuentra la opción 'arrow'. Le ponemos un punto y coma para que se aprecien dichas utilidades.

> with(plottools);
arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout , cylinder, disk dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron, homothety hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice,point , polygon project , rectangle, reflect , rotate, scale, semitorus, sphere, stellate tetrahedron, torus, transform , translate, vrml

> for j from 0 to 10 do l[j] := plots[display](arrow([j,0], [j,f(j)], .05, .3, .05, color=green)) od: > plots[display](seq(l[j],j=0..10),color=green);

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Sistemas de Control en Tiempo Discreto

2.3 DISCRETIZACIÓN POR INVARIANZA AL IMPULSO.
Dadauna función de transferencia continua F(s) (transformada de Laplace de f(t)) se llama discretización por invarianza al impulso a la transformada z, Fd(z), tal que la inversa de Laplace de F(s) y la inversa z de Fd(z) coinciden en los instantes de muestreo t = k T , donde T es el período de muestreo. Eso quiere decir que la respuesta de la función continua a un impulso es igual a la respuesta de lafunción discreta a un impulso, en los instantes de muestreo k T . [REF. 1].

L (F ( s) )t =k ⋅T = Z

-1

-1

(Fd (z ) )
F ( s) ⋅ z z − e s⋅T

⇒

Fd (z ) = Z

L

–1

(F ( s) )t =k ⋅T

=

Σ

residuo de

en los polos de F(s)

Nota del autor: En ocasiones se realiza un abuso de notación, haciendo la siguiente simplificación:

Z L

–1

(F ( s) )t =k ⋅T

= Z

(F (s))

La función de Maple 'with(inttrans)' sirve para trabajar con una serie de utilidades, entre las que se encuentra la transformada de Laplace, y la inversa de la transformada de Laplace. Le ponemos un punto y coma para que se aprecien dichas utilidades.

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Capítulo 2: Discretización de una Señal

Ejemplo: Sea F es la transformada de Laplace de una función f ( t ) .

> restart:with(inttrans);
[ addtable, fourier, fouriercos, fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invlaplace, invmellin, laplace, mellin, savetable ]

> F := 2*(s^2+16+2*s)/(s*(s^2+16));
F := 2 2 s + 16 + 2 s 2 s ( s + 16 )

Ahora calculamos F d ( z ) , la transformada z de f ( k T ) . La función se obtiene con la inversa de Laplace de F, y a continuación sustituimos t = k T para...