Integracion fisica

DERIVACION NUMERICA
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función f(x) es:

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:

Diferencias hacia atrás:

Laaproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
Diferencias centrales:

Integración numérica
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integraldefinida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
Elproblema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta,pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. |
Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar f(x) por otro función g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un ciertonúmero de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente estas funciones son polinomios.

Método del trapecio
 
Paracalcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integraciónnumérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson

Este es un método de integración numér que se obtiene al integrar la formula de interpolación lineal.ico
 
Respuesta, (error).
 
Regla del trapecio

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Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto.
Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).
 
Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede aplicar N veces al caso de N intervaloscon una separación uniforme h.
Así se propone la regla extendida del trapecio.
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
Ejemplo:
El cuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada por ,, entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con . El valor exacto es I=11.7286, u2.
Evalué el error para cada N.
Donde:


 

Regla de...