Integracion mutiple

Universidad Católica del Norte, Departamento de Matemáticas

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Contents
1 GEOMETRÍA DEL ESPACIO.1.1 Introducción . . . . . . . . . . 1.2 Rectas y Planos en el Espacio . 1.3 Super…cies en el Espacio . . . . 1.4 Super…cies cilíndricas. . . . . . 1.5 Super…cies cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 11 12 17 40 40 45 4760 64 84 84 93 98 103 108 124 132

2 Funciones vectoriales 2.1 Curvas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Funciones vectoriales en R2 . . . . . . . . . . 2.3 Funciones vectoriales en R3 . . . . . . . . . . 2.3.1 Vector velocidad y aceleración. . . . . . 2.3.2 Vectores Tangente y Normal Unitarios

3 Funciones de varias variables. 3.1 De…niciones básicas. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3.2 Límite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Derivadas Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Diferenciación y aproximación lineal. . . . . . . . 3.4 Derivada direccional, Vector Gradiente y Plano Tangente. 3.5 Regla de la cadena y Derivadas Implícitas. . . . . . . . . 3.6 Máximos y Mínimos de funciones de dos variables. . . . . 4Integración Múltiple. 4.1 Integración Doble . . . . . . . 4.1.1 Coordenadas polares. . 4.2 Integrales Triples . . . . . . . 4.2.1 Teorema del cambio de . . . . . . . . . . . . . . . . . . variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 . 150 . 166 . 171 . 188 192 . 192 . 193 . 194 . 195 . 197 . 199

5 Análisis Vectorial 5.1 Campos Vectoriales. . . . . . . . . . 5.2 Integrales de Línea . . . . . . . . . . 5.2.1 Independencia de trayectoria. 5.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . 5.4 Integrales de Super…cie. . . . . . . . 5.5 Teoremas de Stokes y la Divergencia.

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1.1

GEOMETRÍA DEL ESPACIO.Introducción

En los cursos anteriores hemos trabajado con elementos del plano R2 , donde un punto está determinado por el par ordenado (x; y), donde y se puede interpretar como y = f (x) una función de la variable x. Un sistema similar de dos coordenadas es el que se construye sobre el círculo, las coordenadas polares: (r; ), donde r es la distancia aun punto …jo, llamado el polo y es el ángulo que forma el segmento de recta que une el punto con el polo y una recta …ja, "coincidente con el eje X de las coordenadas rectangulares", que llamamos el eje a 0o . En ese sistema de coordenadas de…nimos funciones, estudiamos su continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad, siendo capaces de trazar grá…cas de funciones, las rectas tangentes ycalcular áreas de regiones acotadas por dos o más curvas. En este curso, extenderemos todas estas nociones al espacio R3 , donde un punto es determinado por una tríada de números, (x; y; z). Así como el par ordenado (x; y) indicaba la distancia entre el punto y los ejes coordenados, en el caso de la tríada (x; y; z), también representará las distancias, pero no a los ejes coordenados sino a "Planos...