integracion numerica

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función contínua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo: 
Teorema Fundamental del Cálculo
Sea una función contínua en el intervalo y sea una antiderivada de . Entonces: 
 
El problema en la práctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados deencontrar la antiderivada requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como: 
 
la cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.
En este capítulo estudiaremos diversos métodos numéricos que nos permitirán obtener aproximaciones bastante exactas a integrales como la mencionada anteriormente. Esencialmente, veremos dos tipos de integración numérica: lasfórmulas de Newton-Cotes y el algoritmo de Romberg. 
Las fórmulas de Newton-Cotes están conformadas por las bien conocidas reglas del trapecio y de Simpson (regla de un tercio y de tres octavos). El algoritmo de Romberg forma parte de un método conocido como método de extrapolación de Richardson. 
Haciendo uso de algunos programas computacionales (por ejemplo, en Mathematica) es posible discernirsobre las cualidades y defectos de cada uno de los métodos mencionados arriba.
FORMULAS DE INTEGRACION DE NEWTON-COTES
Estas fórmulas se basan en la idea de integrar una función polinomial en vez de : 
 
donde es un polinomio de interpolación de grado para ciertos datos de que se escogen apropiadamente. 
Es importante observar que estas fórmulas se pueden aplicar inclusive a unatabla de datos, ya que lo que se usa es un polinomio de interpolación, el cual puede ser calculado con la tabla. 
Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes, existen las formas cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los valores de y ; en caso contrario, se llaman formas abiertas. 
Nosotros nos remitiremos a estudiar únicamente las formas cerradas, y por lo tanto, siempresuponemos que conocemos los valores y .
REGLA DEL TRAPECIO 
Corresponde al caso donde , es decir :  
 
donde es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para los datos:  

Del capítulo anterior, sabemos que este polinomio de interpolación es:
 
Integrando este polinomio, tenemos que:










Por lo tanto, tenemos que: 
 
Que es la conocida Regla del Trapecio. Estenombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo , que es precisamente el área del trapecio que se forma.

Ejemplo 1:
Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral: 
 
Solución.
Usamos la fórmuladirectamente con los siguientes datos:  

  Por lo tanto tenemos que: 
 
Ejemplo 2.  
Usar la regla del trapecio para aproximar la integral:  
 
Solución.  
Igual que en el ejemplo anterior, sustituímos los datos de manera directa en la fórmula del trapecio. En este caso, tenemos los datos:  

Por lo tanto, tenemos que: 

La regla del trapecio se puede ampliar sisubdividimos el intervalo en subintervalos, todos de la misma longitud .  
Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando propiedades de la integral tenemos que: 
 
Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:  
 
Ahora bien, ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:  
 
Sustituyendo el valor de h yusando la notación sigma, tenemos finalmente: 
 
Esta es la regla del trapecio para n subintervalos. Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la aproximación a la integral. 
Ejemplo 1:  
Aplicar la regla del trapecio para aproximar la integral  
 
si subdividimos en 5 intervalos.
Solución.  
En este caso, identificamos , y la partición generada es:  

Así,...