Integracion por el metodo de capas

Tema: La integral indefinida
Subtema: Antiderivadas
La matemática contiene varios pares de operaciones inversas, como: adición y sustracción, multiplicación y división, elevación a un exponente yextracción de una raíz y otras.  Anteriormente estudiamos la derivación,  y su inversa es la antiderivación.  
El cálculo se divide en dos categorías.  El cálculo diferencial que incluye la derivada,el hallar máximos y mínimos relativos.  Vimos la interpretación geométrica de la derivada: la pendiente de una curva en un punto P, es la pendiente de la recta tangente en ese punto.  Así también lainterpretación física de la derivada: velocidad.   El cálculo integral  se utiliza para hallar área, volumen, predecir el tamaño poblacional en el futuro y costo de vida en el futuro.  El cálculointegral  geométricamente  está relacionado con calcular área.
Ejercicio:  Dibuja  la  gráfica  de  f(x) = 2x  en  el  plano  provisto.   ¿Qué función tiene a f(x) = 2x como derivada? ____________Dibújala en el mismo plano. ¿Será esa la única función o hay otras que tienen a f(x) = 2x como derivada?
 

  Definición: Una función F es una antiderivada de una función f si F’ = f.
 En el ejercicioanterior, ¿cuáles son las antiderivadas de f(x) = 2x?
________________________________________________________________
 Las antidericadas no son únicas, ya que la derivada de una constante es cero. SiF(x) es una antiderivada de f(x), también F(x) + c para todo número c.
Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas antiderivadas son:
F(x) = x2 + 2
F(x) = x2 + 1
F(x) = x2
F(x) = x2 - 1
F(x) =x2 - 2
Si las representamos gráficamente en un mismo plano, se tiene :
 
 
 
 
 
 
 
 
A este conjunto de gráficas se le conoce como una familia de antiderivadas, con una derivada en común,que es f(x) = 2x.
 Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x) + c se llama la integral indefinida de f(x). El adjetivo indefinida se usa porque la constante c es arbitraria o indefinida....