Integracion y derivacion numerica
Páginas: 29 (7216 palabras)
Publicado: 8 de octubre de 2015
s.c
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.ar
no
U
TN
ia
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Gral. Pacheco
Departamento de Ingeniería Mecánica
Cátedra: Cálculo Avanzado
Curso:
3º 1º
Año:
2012
INTEGRACION Y DERIVACION NUMERICA
La diferenciación e integración de una función tiene innumerables aplicaciones en la
ingeniería.
La diferenciación es algo común en ingeniería debido a que muchas veces nuestro trabajoimplica analizar cambios de las variables, tanto en el tiempo como en el espacio.
Ejemplo:
2da Ley de Newton, se expresa en términos del cambio de posición de un cuerpo.
Leyes que gobiernan el comportamiento de sus variables en el espacio que se expresan en
términos de derivadas.
Leyes que consideran potenciales y gradientes.
Ley de Fourier de la conducción del calor: El calor fluye desde regiones demayor a menor
temperatura. En el caso unidimensional, ésta se expresa en forma matemática como:
Flujo de calor : − k'.
dT
dx
Integración:
Topógrafo
(a)
Ing. en Hidráulica
(b)
a-) Un topógrafo necesita conocer el área de un campo limitado por una corriente
zigzagueante y dos caminos.
b-) Un ingeniero hidráulico puede necesitar conocer el área transversal de un río.
Integración y derivaciónnumérica
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Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Gral. Pacheco
Departamento de Ingeniería Mecánica
Cátedra: Cálculo Avanzado
Curso:
3º 1º
Año:
2012
Fórmulas de Integración de Newton - Cotes
Se basan en reemplazar una función complicada a datos tabulados por un polinomio de
aproximación que es fácil de integrar:
b
b
a
a
F = ∫ f(x).dx ≅ ∫ f n ( x ). dx(1.1)
donde ƒn (x) es un polinomio de la forma:
f n ( x ) = a 0 + a1 x + ... + a n −1 x n −1 + a n x n
Ejemplo:
Polinomio de 1er grado
Polinomio de 2do grado
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton – Cotes. Las formas cerradas
son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración.
Las formas abiertas tienen límites de integración quevan más allá del intervalo de los datos.
Integración y derivación numérica
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Universidad Tecnológica Nacional
Cátedra: Cálculo Avanzado
Curso:
3º 1º
Año:
2012
Facultad Regional Gral. Pacheco
Departamento de Ingeniería Mecánica
Por lo general las formas abiertas de Newton - Cotes no se utilizan para integración definida.
Sin embargo, se utilizan para evaluarintegrales impropios y para obtener soluciones de EDO.
La regla del trapecio
La regla de trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton - Cotes
Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación (1.1) es de primer grado.
F=
∫
b
a
b
f ( x). dx ≅ ∫ f 1 ( x ). dx
a
Una línea recta la podemos representar como:
f 1 ( x ) = f (a) +
f (b) − f (a )
( x − a)
b−a
(1.2)
Elárea bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ (x) entre los límites a y b:
a
f (b ) − f ( a )
F = ∫ f (a ) +
.x − a .dx
b
b−a
Antes de integrar, la ecuación (1.2) se puede expresar como:
f1 ( x) =
f (b) − f (a )
a. f (b) − a. f (a )
. x + f (a ) −
b−a
b−a
Agrupando los últimos términos:
f1 ( x) =
f (b) − f (a )
b. f (a ) − a. f (a ) − a. f (b) + a. f (a )
x+
b−ab−a
f1 ( x) =
f (b) − f (a )
b. f (a ) − a. f (b )
x+
b−a
b−a
ó
la cual puede integrarse entre x=a y x=b para obtener:
J=
f (b) − f (a) x 2 b. f (a) − a. f (b)
. +
.x
b−a
2
b−a
Integración y derivación numérica
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Departamento de Ingeniería Mecánica
Cátedra: Cálculo Avanzado
Curso:
3º 1º
Año:
2012evaluando los límites de integración:
J=
(
)
f (b) − f (a ) b 2 − a 2 b. f (a ) − a. f (b)
.
+
.(b − a )
b−a
2
b−a
como b2 -a2 = (b-a) . (b+a)
J = [ f (b) − f (a )].
b+a
+ b. f (a ) − a. f (b )
2
Distribuyendo y agrupando términos se llega a:
J = (b − a ).
f ( a ) + f (b )
2
(1.3)
que es la fórmula para la regla del trapecio.
Error de la regla del trapecio
Cuando empleamos la integral...
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Departamento de Ingeniería Mecánica
Cátedra: Cálculo Avanzado
Curso:
3º 1º
Año:
2012
INTEGRACION Y DERIVACION NUMERICA
La diferenciación e integración de una función tiene innumerables aplicaciones en la
ingeniería.
La diferenciación es algo común en ingeniería debido a que muchas veces nuestro trabajoimplica analizar cambios de las variables, tanto en el tiempo como en el espacio.
Ejemplo:
2da Ley de Newton, se expresa en términos del cambio de posición de un cuerpo.
Leyes que gobiernan el comportamiento de sus variables en el espacio que se expresan en
términos de derivadas.
Leyes que consideran potenciales y gradientes.
Ley de Fourier de la conducción del calor: El calor fluye desde regiones demayor a menor
temperatura. En el caso unidimensional, ésta se expresa en forma matemática como:
Flujo de calor : − k'.
dT
dx
Integración:
Topógrafo
(a)
Ing. en Hidráulica
(b)
a-) Un topógrafo necesita conocer el área de un campo limitado por una corriente
zigzagueante y dos caminos.
b-) Un ingeniero hidráulico puede necesitar conocer el área transversal de un río.
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Curso:
3º 1º
Año:
2012
Fórmulas de Integración de Newton - Cotes
Se basan en reemplazar una función complicada a datos tabulados por un polinomio de
aproximación que es fácil de integrar:
b
b
a
a
F = ∫ f(x).dx ≅ ∫ f n ( x ). dx(1.1)
donde ƒn (x) es un polinomio de la forma:
f n ( x ) = a 0 + a1 x + ... + a n −1 x n −1 + a n x n
Ejemplo:
Polinomio de 1er grado
Polinomio de 2do grado
Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton – Cotes. Las formas cerradas
son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración.
Las formas abiertas tienen límites de integración quevan más allá del intervalo de los datos.
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Curso:
3º 1º
Año:
2012
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Departamento de Ingeniería Mecánica
Por lo general las formas abiertas de Newton - Cotes no se utilizan para integración definida.
Sin embargo, se utilizan para evaluarintegrales impropios y para obtener soluciones de EDO.
La regla del trapecio
La regla de trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton - Cotes
Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación (1.1) es de primer grado.
F=
∫
b
a
b
f ( x). dx ≅ ∫ f 1 ( x ). dx
a
Una línea recta la podemos representar como:
f 1 ( x ) = f (a) +
f (b) − f (a )
( x − a)
b−a
(1.2)
Elárea bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ (x) entre los límites a y b:
a
f (b ) − f ( a )
F = ∫ f (a ) +
.x − a .dx
b
b−a
Antes de integrar, la ecuación (1.2) se puede expresar como:
f1 ( x) =
f (b) − f (a )
a. f (b) − a. f (a )
. x + f (a ) −
b−a
b−a
Agrupando los últimos términos:
f1 ( x) =
f (b) − f (a )
b. f (a ) − a. f (a ) − a. f (b) + a. f (a )
x+
b−ab−a
f1 ( x) =
f (b) − f (a )
b. f (a ) − a. f (b )
x+
b−a
b−a
ó
la cual puede integrarse entre x=a y x=b para obtener:
J=
f (b) − f (a) x 2 b. f (a) − a. f (b)
. +
.x
b−a
2
b−a
Integración y derivación numérica
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Facultad Regional Gral. Pacheco
Departamento de Ingeniería Mecánica
Cátedra: Cálculo Avanzado
Curso:
3º 1º
Año:
2012evaluando los límites de integración:
J=
(
)
f (b) − f (a ) b 2 − a 2 b. f (a ) − a. f (b)
.
+
.(b − a )
b−a
2
b−a
como b2 -a2 = (b-a) . (b+a)
J = [ f (b) − f (a )].
b+a
+ b. f (a ) − a. f (b )
2
Distribuyendo y agrupando términos se llega a:
J = (b − a ).
f ( a ) + f (b )
2
(1.3)
que es la fórmula para la regla del trapecio.
Error de la regla del trapecio
Cuando empleamos la integral...
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