Derivacion numerica
Páginas: 6 (1307 palabras)
Publicado: 4 de noviembre de 2011
SEGUNDA DERIVADA NUMERICA
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
• Diferencias hacia adelante:
[pic]• Diferencias hacia atrás:
[pic]
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
• Diferencias centrales:
[pic]
[pic]
➢ SERIES DE TAYLOR
La serie de Taylor es una serie funcional ysurge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en unerror conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que seesta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
[pic]
o expresado de otra forma
[pic]
Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos[pic] no afectamucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
➢ DIFERENCIACION DE FORMULAS CON ALTA EXACTITUD
Se pueden generar formulas por diferencias divididas finitas, incluyendo mas términos ala serie de Taylor y obteniendo mayor nivel de exactitud en la estimación de las derivadas.
• Aproximación A La Primera Derivada Con Diferencias Hacia Atrás:
La serie deTaylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual dado por:
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:
Donde los errores son 0 y el diferencial indica la primera diferencia dividida hacia atrás.
• Aproximaciones a La Primer Derivada Con Diferencias Centrales
Una tercera forma de aproximar laprimera derivada es restar laecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
Para obtener:
Que se puede resolver para
O
La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contras-te con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a lainformación práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada.
• Aproximaciones A Derivadas De Orden Más Alto Usando Diferencias Finitas:
Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior. Parahacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:
De esta fórmula se puede obtener:
A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden.
Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás centrales. En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor...
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
• Diferencias hacia adelante:
[pic]• Diferencias hacia atrás:
[pic]
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
• Diferencias centrales:
[pic]
[pic]
➢ SERIES DE TAYLOR
La serie de Taylor es una serie funcional ysurge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en unerror conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que seesta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
[pic]
o expresado de otra forma
[pic]
Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos[pic] no afectamucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
➢ DIFERENCIACION DE FORMULAS CON ALTA EXACTITUD
Se pueden generar formulas por diferencias divididas finitas, incluyendo mas términos ala serie de Taylor y obteniendo mayor nivel de exactitud en la estimación de las derivadas.
• Aproximación A La Primera Derivada Con Diferencias Hacia Atrás:
La serie deTaylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual dado por:
Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:
Donde los errores son 0 y el diferencial indica la primera diferencia dividida hacia atrás.
• Aproximaciones a La Primer Derivada Con Diferencias Centrales
Una tercera forma de aproximar laprimera derivada es restar laecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
Para obtener:
Que se puede resolver para
O
La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contras-te con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a lainformación práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada.
• Aproximaciones A Derivadas De Orden Más Alto Usando Diferencias Finitas:
Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior. Parahacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:
De esta fórmula se puede obtener:
A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden.
Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás centrales. En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor...
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