Derivacion numerica

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DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

EJERCICIOS RESUELTOS

CÁTEDRA DE MÉTODOS NUMÉRICOS DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN SEPTIEMBRE DE 2003 ING. BEATRIZ PEDROTTI

DERIVACIÓN NUMÉRICA

1º EJERCICIO:
Dada la siguiente función discreta,
i x f(x) 0 0 1 1 2 3 4 5 6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.90484 0.81873 0.74082 0.67032 0.60653 0.54881

a) Encontrar f’(0) aplicando las fórmulas de 2, 3 y 4puntos de la tabla, es decir:
i -1 -3 -11 i+1 1 4 18 i+2 -1 -9 i+3 factor 1/h 1/2h 1/6h orden error 1 fórmula 1 2 fórmula 2 3 fórmula 3

2

Solución:
según fórmula 1 según fórmula 2 según fórmula 3 f'(0) es = ( f'(0) es = ( f'(0) es = ( -1 -3 + + 0.9048 + 0 + 0 ) *1/ 0 ) *1/ 1.5 ) *1/ 0.1 = -0.9516 0.2 = -0.9969 0.6 = -0.9997

3.6194 + -0.8187 + 16.287 + -7.3686 +

-11 +

b) Encontrarf’’’(0) aplicando las fórmulas de 5 la tabla, es decir:
i -5 i+1 18 i+2 -24 i+3 14 i+4 -3 factor 1/2(h*h*h)

puntos de

orden error 2 fórmula 17

No son aplicables las formulas 19 y 20 que son también de 5 puntos.

Solución:
según fórmula 17 f'''(0) es = ( -5 + 16.287 + -19.65 + 10 + -2 ) *1/ 0.002 = -0.9400

1-9

c) Encontrar fiv (0) aplicando las fórmulas de 5 la tabla, es decir:
i 1 i+1 -4i+2 6 i+3 -4 i+4 1

puntos de

factor orden error 1/(h*h*h*h)) 1 fórmula 21

No son aplicables las fórmulas 22 y 23.

Solución:

según fórmula 21 der4(0) es = (

1 + -3.6194 + 4.9124 +

-3 +

1 ) *1/ 0.00010 =

0.6000

2º EJERCICIO:
Dada la siguiente función discreta,
i 0 x 0.8 f(x) 0.71736 1 2 3 4 5 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0.78333 0.84147 0.89121 0.93204 0.96356 6 1.4 0.98545a) Encontrar f’’(1.0) o sea i=2, aplicando las fórmulas centrales de 3 y 5 puntos, es decir:

i-2

-1

i-1 1 1 16

i -2 -2 -30

i+1 1 1 16

i+2 0 -1

factor 1/(h*h) 1/(h*h) 1/12(h*)

orden error 2 fórmula 12 2 fórmula13 4 fórmula 15

La fórmula 14 no es central.

Solución:
según según según fórmula 12 f''(1.0) es = ( fórmula13 f''(1.0) es = ( fórmula 15 f''(1.0) es = ( 0 + 0 +-1 + 0.7833 + -1.6829 + 0.7833 + -1.6829 + 12.533 + -25.244 + 0.9 + 0.9 + 0 ) *1/ 0 ) *1/ 0.010 = 0.010 = 0.120 = -0.8400 -0.8400 -0.8405

14 + -0.9320 ) *1/

b) Encontrar fIII(1.4) o sea i=6,

aplicando la fórmula 17.

2-9

Para aplicar la fórmula 17 que es lateral derecha o inicial en el punto 1.4 y según los datos que poseo, debo transformarla en fórmula lateral izquierda o finalformula 17 lateral derecha o inicial i i+1 i+2 i+3 i+4 -5 18 -24 14 -3 cambio signo de indices y signo de factores i i-1 i-2 i-3 i-4 5 -18 24 -14 3 reordeno y obtengo formula 17 lateral izquierda o final i-4 i-3 i-2 i-1 3 -14 24 -18

i 5

factor orden error 1/2(h*h*h) 2

Solución:
f'''(1.4) es = ( 2.524 + -12.477 + 22.369 + -17.344 + 4.927 ) *1/ 0.002 = -0.2000

3º EJERCICIO:
Calcular laderivada primera de f(x)=seno(x)/x en los puntos x=1.2 y x=1.3 aplicando la formula “8” con pasos de cálculo h1=0.1 y h2=0.2 y Extrapolando por Richardson.

La fórmula “8” es:
i-2 1 i-1 -8 i 0 i+1 8 i+2 -1 factor 1/12h

Los datos de la función discretizada que necesito para el cálculo son:
x f(x) 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0.896695 0.870363 0.841471 0.810189 0.776699 0.7411990.703893 0.664997 0.624734 0.583332

a) La derivada en x=1.2 con h1=0.1 es:
(0.841470985 -6.481508073 + 0 + 5.929588833 - 0.703892664)/ (12* 0.1)= -0.345284099

3-9

La derivada en x=1.2 con h2=0.2 es:
(0.896695114 - 6.731767878 + 0 + 5.631141314 - 0.624733502)/(12*0.2)= -0.345277064

Extrapolando, h2/h1= 2; (h2/h1)4= 16
f’(1.2)ex=(16 *( -0.345284099) – (-0.345277064))/(16-1)=-0.34452845691

orden de error= 4

b) La derivada en x=1.3 con h1=0.1 es:

(0.810188509 - 6.213593906 + 0 + 5.631141314 - 0.6649967)/(12*0.1)= -0.364383951

La derivada en x=1.1 con h2=0.2 es:
(0.870363233 - 6.481508073 +0+ +5.319973262 - 0.583332241)/(12*0.2)= -0.36437659

Extrapolando, h2/h1= 2; (h2/h1)4= 16
f’(1.3)ex=(16 *( -0.364383951) – (-0.36437659))/(16-1)= -0.3643844452

orden...
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