Derivación numérica

DERIVACIÓN NUMÉRICA
La derivación numérica consiste en obtener el valor de las derivadas de una función tabulada en alguno de sus puntos. Se parte de que la función que se desea derivar estátabulada con desplazamientos constantes, y se acepta que ésta se pueda aproximar por un polinomio de grado j dado por la ecuación:

que de forma desarrollada queda como:

Recordando:

Pero también:Obteniendo la primera derivada con respecto de x.-

Como la variable a derivar es k, lógicamente la derivada valdría 0; por lo tanto agregamos la expresión al final de la ecuación para poder operarla función.

Del método de Diferencias Finitas recordemos que:

Y derivando.-

Como

es constante su derivada es cero.

Entonces.-

Derivando otra vez para obtener la segunda derivada.-Y por ultimo obtenemos la tercera derivada que queda como:

¿Cómo obtener la formula de derivación? Ejemplo de clase.
Obtener la primera derivada de F(x) para x=2 con un polinomio de 2° grado.Solución. Leyendo el enunciado encontramos que nos pide la primera derivada, por lo tanto utilizamos la ecuación de las fórmulas de derivación, la cual no es más que el desarrollo de derivada una vez.También pide que lo hagamos con un polinomio de 2° grado por lo que de la ecuación simplemente tomamos hasta el desarrollo de , y la ecuación queda como:

En este caso k=2, (k=subíndice de la “x”que se esté manejando)

Como:

Sustituimos en la ecuación I.-

Desarrollamos.-

Reduciendo términos semejantes.-

Factorizando.-

Y por último.-

Ejemplo de aplicación (dado en clase).
xX0 X1 X2 X3 X4 0 π/8 π/4 3π/8 π/2 y=cos(x) 1.000 0.924 0.707 0.383 0.000 Tabla 1 a) Calcular la primera derivada en x= π/8 utilizando las fórmulas de derivación obtenidas de un polinomio de 2° gradoy 3er grado. b) Comparar los resultados del inciso anterior con el valor exacto de la derivada. c) Calcular la primera derivada en x= π/2 utilizando las fórmulas de derivación obtenidas de un...