Integración Numérica Utilizando Aproximaciones

Análisis Numérico – Integración Numérico

INDICE
I. II. Introducción Marco Teórico
2.1. Formulas de Integración Numérica de Tipo Interpolatorio
2.2. Formulas de cuadratura de Newton- Cortez
 Regla del Rectángulo o Punto Medio
 Regla del Trapecio  Regla de Simpson
2.3. Formulas de cuadratura compuesta
 Regla del Rectángulo compuesto
 Regla deltrapecio compuesto
 Regla de Simpson compuesto
2.4. Cuadratura Gaussiana Problemas Resueltos Problemas Propuestos Programas en MatLab


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I.

INTRODUCCION
Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma algraficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la Figura 1.

Figura 1: Área encerrada entre la gráfica de la función f, el eje de abscisas y las rectas y . En donde la función y los valores a y b son
conocidos.

En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:
 Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el áreasolicitada.  Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área. Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

Por lo que la integración numérica es una herramienta de lasmatemáticas que proporciona formulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente y, sobre todo, se puede realizar ese cálculo en un ordenador. La integral definida de una función continua intervalo [a, b], ∫ es el área de la región delplano delimitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales y . (Ver Figura 1) [ ] en el

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II.

MARCO TEÓRICO
INTEGRACION NUMERICA DE TIPO

2.1. FÓRMULAS DE INTERPOLATORIA

Las fórmulas de integración numérica de tipointerpolatorio son las que se obtienen integrando el polinomio de interpolación. En concreto, si se conoce entonces:

Siendo P(x) el polinomio de interpolación de en los puntos conocidos y ) el error de interpolación correspondiente. Si es integrable en [ ] se tiene:

∫

∫

∫

Y puesto que

∑

resulta:

∫

∑ (∫

)

Definiendo

∫

, se tiene el siguiente teorema:

Teorema (Exactitudde las fórmulas de integración interpolatorias) ∑ La formula ∫ es exacta para todo polinomio de grado menor o igual que n si y solo si es de tipo { }, interpolatorio (o sea si para todo ∫ siendo los polinomios de base de Lagrange)

2.2. FÓRMULAS DE CUADRATURA DE NEWTON-CORTEZ
Muchas veces no podremos calcular la primitiva de una Integral para tener así su valor, o tenemos una serie de puntosque tendremos que interpolar. En éstos casos podremos recurrir a métodos de aproximación.

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Los métodos de integración numérica más utilizados son las fórmulas de cuadratura de newton-Cortez que desarrollaremos a lo largo del presente trabajo. A. REGLA DELRECTÁNGULO O PUNTO MEDIO La forma más sencilla para calcular la integral de una función es utilizando la regla del rectángulo, que incurre en tres casos principales: 1. CASO 1 En el primer caso se aproxima la integral por el área del ] y la altura rectángulo de base [ – ver Figura 2 – por lo que obtenemos la siguiente fórmula: ∫

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