Integral de linea

ESCUELA POLITECNICA DEL EJERCITO |
CONSULTA DE ANALISIS MATEMATICO II |
OSCAR ALBERTO JUIÑA QUILACHAMIN |
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MECATRONICA 2 A |
24 DE ENERO DEL 2011 |

INTEGRALES DE LINEA * DEFINICIONES * TEOREMAS * APLICACIONES |

INTEGRALES DE LINEA
1. Definición:
Integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curvacerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.
Consideremos la curva r( t ) = x( t ) i +  y( t ) j + z( t ) k, y supongamos que está definida en un intervalo [a, b], y supongamos además que existe la derivada de r( t ) y además su derivada es no nula en dicho intervalo (en este caso se dice que la curva es suave en dicho intervalo). Denotemos a la curvadefinida por r( t ) como C.  |
Sea f una función con valores reales definida sobre la curva C. Vamos a definir lo que entenderemos por la integral de línea de f sobre C. |
Supongamos que en el intervalo [a, b] realizamos una partición que llamaremos , |
  :  a = t0 < t1 < ... < tn = b |
Esta partición induce a una partición en la curva en los siguientes puntos |
P0 = r( t0), P1 =r( t1 ), ... , Pn = r( tn ) |
Ahora bien, en cada intervalo [tm-1, tm] seleccionemos un elemento arbitrario m y definamos Qk = r( m ). Formemos ahora la suma |
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donde xk = xk - xk-1. Ahora si el siguiente límite existe |
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2.1. Propiedades De Las Integrales De Linea

2.2. Integral de línea de un campo escalar
Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre lacurva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t [a, b], está definida como:

donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también sonindependientes de la dirección de la parametrización r(t).
2.3.1. Método de solución:
En este caso, con variadas aplicaciones, C es la curva determinada por alguna forma paramétrica r( t ), ( x, y, z ) es un campo escalar, y s es el parámetro longitud de curva (el parámetro "natural" de la curva). El cálculo de esta integral es sencillo. En efecto, supongamos que la curva C se describe porla función paramétrica  |
r( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k |
de tal forma que en t = a, y t = b nos indica que r( a ) = P y r( b ) = Q son los puntos inicial y final de la curva (de otra forma es la "orientación" de la curva C, desde el punto de vista físico es el "sentido" que sigue la partícula que describe el camino C). De esta forma el campo escalar definido sobre la curva r( t )está dado por ( x( t ), y( t ), z( t ) ). |
Y por otro lado, sabemos que |
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Esto es |
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de modo que la integral nos queda como |
                (1) |
que es una sencilla integral real en la variable t. |

2.3. Independencia De La Curva De Integración
Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo),esto es:

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o tambiénconservativo.

2.4. Integral de línea de un campo vectorial
Consideremos un campo vectorial F, y sean P0 = (x0, y0, z0) y P1 = (x1, y1, z1) dos puntos fijos que determinan el inicio y el final de una curva C. Observe la Figura 1. La integral de línea de F desde P0 hasta P1 a lo largo de la curva C se escribe (y se define) como          (1) |
siendo T el vector tangente unitario a la curva y...