Integral Definda

INTEGRAL INDEFINIDA
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomarcualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante poruna función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Dada una función integrable podemos definir una nueva función por para todo. Nuestro próximo objetivo va a ser estudiar dicha función. Recuerda que. Por supuesto, si f es una positiva entonces es el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, el eje deabscisas y las rectas y=a, y=x. No debes olvidar en lo que sigue que se ha definido en términos de áreas.
El comando “Area Func[f[x], {x, a, b}, n, {ymin, ymax}]” da como salida n gráficas y en cada una de ellas representa la gráfica de f, la región en azul, y la gráfica de, en rojo, en el intervalo [a,a+k(b-a)/n], para 1<= k <= n. Además, en cada caso da el valor de . Para usar el comandotienes que fijar los valores “ymin” e “ymax” que determinan el intervalo del eje de ordenadas en que se representarán las funciones. Experimenta con distintas funciones y fíjate si la función te resulta conocida en algunos casos.
A veces puede ser conveniente considerar funciones de la forma en donde a < c < b y por lo que es necesario precisar lo que se entiende por cuando. El convenio quese hace es que cualesquiera sean los números u y v. La justificación de este convenio es que, con él, la igualdad se cumple cualesquiera sean los puntos x, y, z del intervalo [a,b]. Compruébalo.
Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha llevado de f a . Nuestro problema es: ¿Cómo podemos recuperar la función f a partir del conocimiento de la función área de f, esdecir, de la función? Piensa un poco en las operaciones que hay que realizar sobre f para obtener su función área. Dichas operaciones son: evaluar f en algunos puntos del intervalo, multiplicar dichos valores por las longitudes de subintervalo apropiados, sumar todos estos números y pasar al límite.
Todo ello queda reflejado en la igualdad que expresa la convergencia de las sumas de Riemann a laintegral:
Parece razonable que para invertir el proceso anterior, evaluemos F en puntos x, y del intervalo, hagamos la diferencia F(x) - F(y), dividamos por la longitud del intervalo, , y tomemos límites. Como puedes ver, este proceso nos conduce de forma natural a estudiar la derivada de la función área, F. El resultado que sigue, uno de los más útiles del Cálculo, establece una relación entredos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el concepto de área y el de tangente a una curva.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea una función integrable y definamos por para todo x en [a,b]. Entonces:
i) F es continua en [a,b].
ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto siendo . En particular, si f es continua en [a,b], entonces F esderivable en [a,b] y para todo x en [a,b].
Demostración.
i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo x en [a,b]. Entonces, si x < y son puntos de [a,b] tenemos que:
Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que . Estas dos desigualdades nos dicen que para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la continuidad de F...