integral definida


LA INTEGRAL DEFINIDA. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO

INTRODUCCIÓN: Problema del cálculo de un área

                                                                      
                                  Si A es el área buscada se tiene:          SD< A < SE
Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto (SD)  y por exceso (SE) coincidirán y  esevalor común será el área encerrada
(Intuitivo. No lo formalizamos, si necesitas más teoría visita este enlace Integración)
           

A ese valor se le llama la integral definida de f en [a,b]. Se escribirá: 

Áreas de recintos planos
Geométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y = f(x) (f positiva en [a, b] ) el eje de las X y las rectas x = a y x =b.
 
 
                                                                                                                                 A
 
 
                                                                                                                       a                 b
Ejemplo 1. Vamos a expresar mediante una integral el área del trapecio de vértices:
 (3, 0), (15, 0), (15, 15) y (3, 3), (ver figura)
Necesitamos conocer laexpresión de la recta que pasa por los puntos (3, 3) y (15, 15), en este caso es trivial, es y = x.

El área viene dada por : A =
Relación entre la integral definida y la indefinida
La  regla deBarrow  nos relaciona la primitivas de una función con la integral definida, y es lo que utilizaremos para el cálculo de áreas planas.
 
Regla de Barrow
Si f es continua en [a, b] y G es unaprimitiva de f  =
Ejemplo 2. El valor del área del ejemplo 1 es:
A = = = (comprobarlo)
Área encerrada entre dos curvas
Teniendo en cuenta los resultados anteriores el área que encierra una curva f con eleje de abscisas y las rectas x = a  y x = b se puede calcular así: , ya que de esta manera será la función siempre positiva.
Ejemplo 3.Calcula...