Integral Definida

INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA. I.- INTRODUCCIÓN. Recordemos que el cálculo integral es una rama de las matemáticas encargada del proceso de integración o la antiderivación. Una antiderivadaes el proceso inverso de la derivada, esto es, volver a la función original. Principalmente, se usa la integración para el cálculo de áreas o volúmenes de cualquier región geométrica, sin importar laforma que tengan éstas figuras (fig. 1a). En un plano de dos dimensiones (fig. 1b), el área a conocer se le llama área bajo la curva. II.- LA INTEGRAL DEFINIDA. Dada una función cuya variable definecomo se comporta dicha función o fenómeno, (normalmente es denotada por x) sobre un intervalo [a,b], la integral: Es igual al área de la región del plano xy desde la gráfica de la función hasta lalínea del eje horizontal (el eje x) que está dentro del intervalo [a,b] (fig. 2). Por ejemplo, supongamos que se quiere conocer el área de la función f(x) = x ¿cuál es el área bajo la curva en elintervalo [0,1]? Primero, sepamos como es la gráfica de la función en la fig. 3, para saber cómo será el área a conocer. Una vez trazada la gráfica, se procede a encontrar la integral:
a)
Fig. 2. El árealimitada por la gráfica y el eje x, dentro del intervalo [a,b] se calcula por medio de la integral definida.

Esta es el área bajo la curva de f(x) = x en el intervalo [0,1].
b)
Fig. 1. La integrales usada para encontrar a) áreas y volúmenes geométricos, y b) dada una función f en un plano, toda el área bajo la curva trazada por f.

III.- DIFERENTES INTEGRACIÓN.

FORMAS

DE

Lasdiferentes formas de integración son: integral de Riemann, integral de Darboux y la integral de Lebesgue.

Fig. 3. Gráfica de la función f(x) = x, dentro del intervalo [0,1] para el caso del ejemplotomado, cuya área es igual a 2/3.

Fig. 4. Al tener un número finito de subintervalos, se trazan rectángulos verticales para encontrar el área bajo la función. Este es el método de las sumas de...