Integral Definida
Páginas: 7 (1560 palabras)
Publicado: 9 de marzo de 2013
21/08/2012
Campus Puebla
Escuela de Tecnologías de la Información y
Electrónica
Departamento de Ciencias Básicas
Matemáticas para Ingeniería II
MA1004
Matemáticas para Ingeniería II
1
Tema 1. Antiderivada e integral definida
Antiderivada
◦ Concepto
◦ Tablas de antiderivadas
Integral definida
◦ La integral como un área
◦ Sumas de Riemman
Teoremafundamental del Cálculo
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
2
1
21/08/2012
Problema del área
◦ En el cálculo diferencial se estudió un problema
que resultaba de mucho interés
Problema de la tangente
◦ La resolución de dicho problema nos llevaba a que
existía una relación entre la derivada y la
pendiente de la recta tangente a una curva en un
punto.Matemáticas para Ingeniería II
3
Problema del área
◦ En el cálculo integral existe un problema similar:
El problema del área.
◦ Este problema se centra en que se conocen
métodos/fórmulas para zonas encerradas con
lados rectos o de algunas curvas.
Sin embargo si se tiene una región que no presenta
dichas características, el cálculo del área no resulta tan
sencillo.
Matemáticaspara Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
4
2
21/08/2012
Problema del área
◦ Supongamos la siguiente área
y
������ = ������ ������
������
������ = ������
������ = ������
x
������ =
������, ������ ������ ≤ ������ ≤ ������, 0 ≤ ������ ≤ ������ ������
Matemáticas paraIngeniería II
5
Problema del área
◦ Se han utilizado diferentes técnicas para calcular
este tipo de áreas
Métodos trapezoidales
Métodos de Simpson
…
◦ Todos los métodos se basan en la misma idea
Seccionar la región en subregiones conocidas,
normalmente rectángulos.
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
6
3
21/08/2012
Problema del área
◦La forma más «sencilla» es mediante rectángulos
Los rectángulos tendrán una base Δ������������ y una altura ������ ������������∗ .
Dichos rectángulos pueden no estar espaciados de forma
regular y el valor ������������∗ puede ser cualquiera que se encuentre
dentro del subintervalo.
Para realizar una simplificación, se toman intervalos de la
misma longitud y el valor ������������∗ en laparte superior de cada
subintervalo.
Matemáticas para Ingeniería II
7
Problema del área
y
R1
R2
R3
R4
x
������������ ≈ ������1 + ������2 + ������3 + ������4
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
8
4
21/08/2012
Problema del área
◦ El resultadoobtenido es una aproximación hecha
con 4 rectángulos.
Como se observa, existen regiones donde el área está
sobreestimada y regiones donde se encuentra
subestimada.
◦ ¿Qué pasará si el número de rectángulos aumenta?
Matemáticas para Ingeniería II
9
Problema del área
y
y
y
y
n=50
x
n=100
n=25
n=10
x
x
x
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
10
5
21/08/2012
Problema del área
◦ Se observaque conforme el número de
rectángulos aumenta el área calculada se aproxima
cada vez más al área real.
◦ El área de cada rectángulo se calcularía como
������������ = ������ ������������∗ Δ������������
Matemáticas para Ingeniería II
11
Problema del área
◦ Entonces el área de la región ������ será aproximada la
suma de todos los rectángulos.
������������ ≈ ������1 + ������2 + ⋯...
Campus Puebla
Escuela de Tecnologías de la Información y
Electrónica
Departamento de Ciencias Básicas
Matemáticas para Ingeniería II
MA1004
Matemáticas para Ingeniería II
1
Tema 1. Antiderivada e integral definida
Antiderivada
◦ Concepto
◦ Tablas de antiderivadas
Integral definida
◦ La integral como un área
◦ Sumas de Riemman
Teoremafundamental del Cálculo
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
2
1
21/08/2012
Problema del área
◦ En el cálculo diferencial se estudió un problema
que resultaba de mucho interés
Problema de la tangente
◦ La resolución de dicho problema nos llevaba a que
existía una relación entre la derivada y la
pendiente de la recta tangente a una curva en un
punto.Matemáticas para Ingeniería II
3
Problema del área
◦ En el cálculo integral existe un problema similar:
El problema del área.
◦ Este problema se centra en que se conocen
métodos/fórmulas para zonas encerradas con
lados rectos o de algunas curvas.
Sin embargo si se tiene una región que no presenta
dichas características, el cálculo del área no resulta tan
sencillo.
Matemáticaspara Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
4
2
21/08/2012
Problema del área
◦ Supongamos la siguiente área
y
������ = ������ ������
������
������ = ������
������ = ������
x
������ =
������, ������ ������ ≤ ������ ≤ ������, 0 ≤ ������ ≤ ������ ������
Matemáticas paraIngeniería II
5
Problema del área
◦ Se han utilizado diferentes técnicas para calcular
este tipo de áreas
Métodos trapezoidales
Métodos de Simpson
…
◦ Todos los métodos se basan en la misma idea
Seccionar la región en subregiones conocidas,
normalmente rectángulos.
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
6
3
21/08/2012
Problema del área
◦La forma más «sencilla» es mediante rectángulos
Los rectángulos tendrán una base Δ������������ y una altura ������ ������������∗ .
Dichos rectángulos pueden no estar espaciados de forma
regular y el valor ������������∗ puede ser cualquiera que se encuentre
dentro del subintervalo.
Para realizar una simplificación, se toman intervalos de la
misma longitud y el valor ������������∗ en laparte superior de cada
subintervalo.
Matemáticas para Ingeniería II
7
Problema del área
y
R1
R2
R3
R4
x
������������ ≈ ������1 + ������2 + ������3 + ������4
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
8
4
21/08/2012
Problema del área
◦ El resultadoobtenido es una aproximación hecha
con 4 rectángulos.
Como se observa, existen regiones donde el área está
sobreestimada y regiones donde se encuentra
subestimada.
◦ ¿Qué pasará si el número de rectángulos aumenta?
Matemáticas para Ingeniería II
9
Problema del área
y
y
y
y
n=50
x
n=100
n=25
n=10
x
x
x
Matemáticas para Ingeniería II
Matemáticas para Ingeniería II
10
5
21/08/2012
Problema del área
◦ Se observaque conforme el número de
rectángulos aumenta el área calculada se aproxima
cada vez más al área real.
◦ El área de cada rectángulo se calcularía como
������������ = ������ ������������∗ Δ������������
Matemáticas para Ingeniería II
11
Problema del área
◦ Entonces el área de la región ������ será aproximada la
suma de todos los rectángulos.
������������ ≈ ������1 + ������2 + ⋯...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.