integral indefinida

NOLAN JARA JARA
INTEGRAL INDEFINIDA
x3

Sea F ( x)

F ´( x) 3 x 2

f ( x)

F´ derivada de F
F anti derivada de F´ = f

x3 anti derivada de 3x2
Porque (x3)´=3x2
F´(x) f(x)
(x3+C): Conjunto de anti derivadas de 3x2 ; C es constante real
Porque: (x3+C)´= (x3)´+( C )´= 3x2
En general:
( F(x) + C ) : Conjunto de anti derivadas de f(x)
F ´( x ) f ( x )
al conjunto de anti derivadasde f(x) se le llama integral indefinida de f(x).
Se denota y define:
F ´( x ) f ( x )
f ( x ) dx F ( x ) C
Por ejemplo
3x 2 dx x 3 C , porque la derivada de x3 es 3x2
REGLAS DE INTEGRACIÓN
1) Cf ( x ) dx C f ( x ) dx
2) ( f ( x )

g ( x )) dx

3)

f ( x ) dx

4)

F ´( x ) dx

5) dF ( x)
6)

f ( x ) dx

F ( x) C

F ´( x )

f ( x)

F ( x) C
F ( x) C ; ( d z

f (u )du

f ( x ) dx

F (u ) C

z C)

F ´(u )

f (u )

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
I) INTEGRACION DIRECTA
La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma
inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos
permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.
Ejemplo:
d 2
1) 2 xdx x 2 C por que
(x ) 2x
dx
x21
d 4
3
4
3
2
2
C
2) 4 x dx x C por que
3) 3 x dx 3 x dx 3
(x ) 4x
2 1
dx

3

x3
3

C

x3

C por que

d 3
(x )
dx

3x 2

1

NOLAN JARA JARA

En general:

xn 1
C;n
n 1

n

1) x dx
por que

Si n

2)

d xn 1
(
)
dx n 1

1

1

d n1
(x )
n 1 dx
1
dx
x

x 1 dx

1
dx
x

ex

n 1 n
(x )
n 1

ln x C ; x

ln x

3) e x d x

1C

xn

0 por que (ln x )´

x
;

1
x

0

C

por que (e x )´ e x

4)Si a

0; a

x

1

ax
a dx
ln a

ax
1
por que (
)´
(a x )
ln a
ln a

1
a x ln a
ln a

ax

5) Senxdx

C osx

C

C

por que ( cos x)´

(cos x)´

6) C osxdx

( senx)

Senx

senx

C

por que ( senx )´ cosx

7 ) sec2 xdx

tg x

C

por que (tgx )´ sec 2 x

8)csc 2 xdx

cotgx C

por que ( cotgx ( cotgx ( cosec x cos ec 2
)´
)´
)2
x

9 ) s e c x tg x d x

secx

c

por que (sec x)´ sec xtgx

II) POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver
la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento
se conoce como integración porsustitución.
Ejemplo:
senx
senx
d (cosx )
1) tgxdx
dx
.dx
; u cos x
ln(cosx ) C
cosx
cosx
cosx
2

NOLAN JARA JARA
1
du
u

tgxdx

tg x d x
2)

1
x

2

1
x

2

1

tg

1

s e c x/

c

arctan x

(tgx Secx )´
dx
tgx Secx

ln Secx c

c

d

Secx( Secx tgx)
dx
( Secx tgx)

3) Secxdx

c

sec 2 d

dx

dx

1

ln( Cosx) 1

ln( cosx) c1
sec 2 d
sec 2

dx

x2

c

ln /

dx ; x

1

ln u

arctan x c

c
Sec 2 x Secxtgx
dx
Secx tgx

d (tgx Secx )
tgx Secx

1
dz
z

ln z

c = ln( secx

tgx ) c

z

secxdx
1

4)
x

dx ; x

2

secx

tg

dx

tg x

c

sec 2 d

1

1
x2

ln

1
sec2 d
sec

dx
1

Como: x

= sec d

ln tg

sec

C…(i)

tg

x2 1

x
1
1En (i):
x

2

dx

x2

1) c

1

1
1 x

ln( x

2

dx

ln( x

x2

1) C
3

NOLAN JARA JARA

5)

1
dx ; x
1 x2

Sen

dx

cos d

Como: x sen

1

x

1 x2
1
Cos d
Cos 2

I

1

ln

x

1 x

2

x2

Otra forma:
1
dx
1 x2

2

C

1
dx
(1 x)(1 x)
(1 x)´
dx
(1 x)

1
ln x 1 ln 1 x
2

C

ln Sec

1 x
(1 x)(1 x)

ln

Cx
x

C

1
2

C

1

1

1 x

1 x

1
2

d ( x 1)
x 1

1 x 1
ln
2 1 x

1
1 1 x
dx ln
2 1 x
1 x2

tg

C

1 1
ln
2 1

dx

( x 1)´
dx
x 1

Sec d

1
1 x
ln
2
1 x

C

1

1
2

1 x

1/ 2

1 x
ln
1 x

1

1
d
Cos

dx

1
2

1
x 1

dx

1
dx
1 x

d (1 x)
(1 x)

C

C

4

NOLAN JARA JARA
Ejemplo
Hallar las...