Integral

2 Integrales Indefinidas y Métodos de Integración La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada. Es decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F. Diferencial de una función Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la derivada de f por un incremento de la variable(∆x).

2.1 Definición Función Primitiva Es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original Una relación entre las variables que contenga “n” constantes arbitrarias, se llama primitiva. Las “n” constantes reciben el nombre de esenciales si no se pueden sustituir por un número menor de constantes.Ejemplo: Sea By = A.x² + C x + D ; las constantes A, B, C, D no son esenciales pues dividiendo todo por B tenemos: y = A/B x² + C/B x + D/B = C1 . x² + C2 . x + C3 donde C1 = A /B ; C2 = C /B ; C3 = D/B luego y = C1 . x² + C2 . x + C3

Para hallar la ecuación diferencial de la primitiva dada; derivamos sucesivamente con respecto a x dy /dx= 2 C1 . x + C2 ; d²y / dx² = 2 C1 ; d3y / dx3
=

0Como esta última está libre de constantes arbitrarias, es la ecuación diferencial asociada a la primitiva dada. y=3x”+2x+18 dy/dx=6x+2 dy=6x+2 (dx) Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c 2.2 Definición Integral Indefinida “Integrar”, en el Cálculo, es el proceso inverso de la Derivación de funciones. El conjunto de todas las primitivas de una función definida en se denomina integral indefinida y se simbolizaEsta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de x Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Donde C representa una constante llamada constante de integración. Ejemplo: la derivada de y=5x es y’=5, la derivada de y=5x+3 es y’=5, la derivada de y=5x-2 es y’=5. Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 obien 5. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte.

2.3 Propiedades Integral Indefinida • . La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

2.4 CalculoIntegrales Indefinidas 2.4.1 Calculo Integrales Directas La integración directa es aplicable es cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

Usando la Formula directa

Problema Resuelto

2.4.2 Calculo Integrales Por Cambio De Variable El métodode integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

:

2.4.3 Calculo Integrales Por Partes Permite resolver un gran número deintegrales no inmediatas y es recomendable cuando tenemos en el integrando el producto de distintos tipos de funciones. Origen de la Formula 1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x). 2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x).g(x), permite escribir, d (f(x).g(x)) = g(x).f´(x)dx + f(x).g´(x)dx 3. Integrando los dosmiembros, ∫ d [f(x).g(x)] = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx De la misma manera que ∫ dx = x, también ∫ d [f(x).g(x)] = f(x).g(x) Por tanto, f(x).g(x) = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx. De aquí se obtiene que: ∫ f(x).g´(x).dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f´(x).dx Esta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u =f(x), du = f´(x) dx, y al ser v = g(x), dv = g´(x) dx. Llevando estos...