Integral

23. Demuestre que la cantidad de trabajo necesario para agrupar cuatro cargas puntuales idénticas de magnitud Q en las esquinas de un cuadrado de lado s es 5.41ke Q2s.
Resolución:

Por demostrar que:
Wtotal en ∎=5.41ke.Q25
Wtotal=WAB+WBC+WCD+WDA+WBD+WAC
Por el teorema del trabajo y la energía:
Wtotal(f.conserv)=-∆∪total=∆Ek
Entonces:Wtotal=UAB+UBC+UCD+UDA+UBD+UAC
→ Wtotal=ke.Q2s+ke.Q2s+ke.Q2s+ke.Q2s+ke.Q2s2+ke.Q2s2
→Wtotal=4ke.Q2s+2ke.Q2s2
→Wtotal=ke.Q2s4+22
Wtotal=5.41ke.Q2s Lqqd.

35. ¿Cuanto trabajo se requiere para juntar ocho cargas puntuales idénticas, cada una de magnitud q en las esquinas de un cubo de lado s?
Resolución:

Sabemos que:Wtotal=WAB+WBC+WCD+WDE+WEF+WFA+WAH+WHC+WHE+WFG+WBG+WGD+WAC+WBH+WAG+WBF+WHF+WAE+WHD+WEC+WBD+WCG+WGE+WFD+WAD+WFC+WGH+WBE
Pero:
WAB≠WBC≠WCD≠WDE≠WEF≠WFA≠WAH≠WHC≠WHE≠WFG≠WBG≠WGD=ke .q2s
Y WAC=WBH=WAG=WBF=WHF=WAE=WHD=WEC=WBD=WCG=WGE=WFD=ke .q2s2
Además: WBE=WAD=WFG=WGH=ke .q2s3
Como: Uinicial sistema=0
Entonces por el teorema del trabajo y la energía:
∆U=Wtotal
→Wtotal del sistema =12ke .q2s+12ke .q2s2+4ke .q2s3
→Wtotal del sistema =ke .q2s12+62+433=22.8ke .q2s

41.considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente sobre su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2R del centro?
Resolución:

ΔV = VP-VO
Sabemos que: ∆V=ke .dqX2+R2 →V=dV=ke X2+R2 dq
∴Vx=ke .QX2+R2
Luego V(0)=ke .QR
V(0)=ke .QR5
Entonces vp-v0=ke .QR55-1
∴∆V=-0.553ke .QR.

45.calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje del anillo mostrado en la figura P25.45, el cual tiene una densidad de carga uniforme σ.

Resolución:

Datos:
Densidad de carga uniforme = σ
VP= ?
Sabemos que:
dV=ke .dqr2+x2
→dv = σkeπab2r dr(r2+x2)t2=σkeπabd(r2+x2)(r2+x2)t2
VP= σ2θr2+x2ab
∴VP= σ2ε0b2+x2)t2-(a2+x2)t2

67. una hoja infinita de carga que tiene una cargasuperficial de 25.0nC/m2 colocado en el plano yz, pasa a través del origen y esta a un potencial de 1.00 kv en el punto y =0, z =0. Un alambre largo que tiene una densidad de carga lineal de 80.0nC/m esta paralelo al eje y y cruza al eje x en x=3 m. a.) Determine, como una función de x, el potencial a lo largo del eje x entre el alambre y la hoja. B.) ¿Cuál es la energía potencial de una carga de2 nCcolocada en x=8 m?
Resolución:

Datos: σ=25nC/m2
V(o)=1 kv en y=0;z=0
λ=80nC/m
Parte (a)

Por Gauss:
∅=EdA=αAε0 ∴ EH=σ2ε0=1.41kNC
Por Gauss:

∅=EdA=λlε0 ∴ EL=σ2πε0r=1.44krNC
Entonces
* Para la hoja infinita: dVdX=-EX→dV=-1.41k33-xdx
∴VH en P=1 kv-1.41 x
* Para la línea de carga: : dVdr=-Er→dV=-1.44kr33-xdr∴VH en P=1 kv-1.44 kln1-x3
En consecuencia: Vtotal en P=1 kv-1.41 x-1.44 kln1-x3

Parte (b)
U=? si x=0.8m y q=2nC
Sabemos que:
V (0.8)=1KV-1.41 (0.8)-1.44 KV ln (1-0.8/39) = 36.62V
Entonces U=V (0.8). q= (0.32) (2×10-9)=633nJ

70. la figura P25.70 muestra varias líneas equipotenciales, cada una marcada por su potencial en volts.la distancia entre líneas de cuadriculadorepresenta1.00 cm. A.) ¿La magnitud del campo es más grande en A o B? ¿Por qué? B.)¿Cuál es el valor de E en B? c.) Represente como se observa el campo dibujando al menos ocho líneas de campo.

Resolución:
Parte(a)
Según el grafico: EA=Ke.QrA2r : Eb=KE.QrB2r
Como:rA<rB al punto fijo(0)
Entonces:EA>EB

18. los dos capacitores del problema 17ahora están en serie y a una batería de9V. Encuentre a) el valor de la capacitancia equivalente de la combinación. b)el voltaje a través de capacitor y c) la carga en cada capacitor.
Resolución:
Datos: C1=5.00μF
C2=12.00μF
∆V=9.00V

Parte (a)
En una combinación en serie se cumple que:
1Cequiv=1C1=1C2
⇒1Cequiv=15=112
∴Cequiv=3.53μF

Parte(b)
Sabemos que en una combinación en serie se cumple...