Integrales area y volumen

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La integral definida. Significado geométrico

INTRODUCCIÓN: Problema del cálculo de un áreaSi A es el área buscada se tiene: SD < A < SE

Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto (SD) y por exceso (SE) coincidirán yese valor común será el área encerrada

(Intuitivo. No lo formalizamos, si necesitas más teoría visita este enlace Integración)



A ese valor se le llama la integral definida de fen [a, b]. Se escribirá:

Áreas de recintos planos

Geométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y = f(x) (f positiva en [a, b] ) el eje de las X y las rectas x = ay x = b.





Aa b

Ejemplo 1. Vamos a expresar mediante una integral el área del trapecio de vértices:(3, 0), (15, 0), (15, 15) y (3, 3), (ver figura)

Necesitamos conocer la expresión de la recta que pasa por los puntos (3, 3) y (15, 15), en este caso es trivial, es y = x.

El área viene dadapor : A =

Relación entre la integral definida y la indefinida

La regla de Barrow nos relaciona la primitivas de una función con la integral definida, y es lo que utilizaremos para el cálculo deáreas planas.



Regla de Barrow

Si f es continua en [a, b] y G es una primitiva de f =

Ejemplo 2. El valor del área del ejemplo 1 es:

A = = = (comprobarlo)

Área encerrada entre doscurvas

Teniendo en cuenta los resultados anteriores el área que encierra una curva f con el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b se puede calcular así: , ya que de esta manera será la...
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