INTEGRALES DE SUPERFICIE Y CAMPO VECTORIAL

INTEGRALES DE
SUPERFICIE Y CAMPO
VECTORIAL

Una superficie es un conjunto biparametrico de
puntos dados por ecuaciones de la forma:
X= x( u,v),

y= y(u,v) z= z(u,v)

Donde u y v son los parámetros.Si podemos
resolver el primer par de igualdades para u y v y
sustituimos u y v por sus valores en la tercera y
obtenemos una sola ecuación:
Z= f(x,y)
En la cual x y y actúan como parámetro.

Laintegral de superficie es una ampliación de
la idea de integral doble, de igual modo en
que la integral de línea es una continuación de
la integral de Riemann clásica. Como el
nombre lo dice, es aquellaintegral cuya
función es evaluada sobre una superficie.
Se define la integral de superficie de una
función  en el espacio tridimensional R3
respecto a una superficie S representada por la
funciónvectorial continua.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE
SUPERFICIE

Son
 

dos las principales propiedades, de las
integrales de superficie y estas son análogas a las
que tenían las integrales de línea.Linealidad: Sea Φ (gradiante) una parametrización
de una superficie s, f, g dos campos escalares y F ,
G dos campos vectoriales, todos ellos continuos en
S, y α,β perteneciente a números reales. Severifica
entonces que:


En 

particular, si la superficie S admite una
parametrización simple y suave se tendrá.

y si además S es orientable, será también.

siempre que para las tres integrales usemosla
misma orientación


Continuidad.
 

Supongamos ahora que Φ : W → es una
parametrización simple de la superficie S =
Φ(W), sea f : S tiende a R, un campo escalar
continuo y tomemos una constante Msea
mayor a 0 de forma que | f(x,y,z)| sean menor
o igual
M para todo punto (x,y,z)
perteneciente a la superficie. Es fácil ver que.


En 

particular, si S admite una parametrización
simple ysuave, se tendrá
≤ M Área (S)
Si ahora F es un campo vectorial continuo en S
y K para todo (x,y,z)∈S, usando la desigualdad
de Cauchy-Schwartz se comprueba sin
dificultad que
≤ K Área (S)


Y

  en...