integrales definidas

INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA

3

dx

[7.1] Calcular: 
2
1 x  x  5 x  1
Solución

dt

x  1/ t  dx   2

t
dx




2
1 x x  5 x  1  2
1  5t  t 2
x  5x  1 

t
3

t   1/ 3
dt
1
 2
1  
dt

t



3 1/ 3  1 t 2  5t  1 1 3 t 2  5t  1


t
 1 t

x
1

1


1
1 5
5
1 5 
dt


 5

2

 ln t   t  5t  1   ln  1   7   ln   
 1 
2

9 3 
2
 2

1/ 3

3 2
 5  21 
1 3  t   
4
 2

72 7
72 7
72 7
2
2
 ln
 ln
 ln
1 5 5
27
9
 
3 2 3
6

ln 5

 ex  ex  1
dx
[7.2] Calcular: 
ex  3
0
Solución

 e x  1  t 2  e x  t 2  1  x  ln(t 2  1) 
ln 5
0
2
 ex  ex  1

  x  0  e 1  t t  0  
dx

2t


  x  ln 5  eln 5  1  t 2  t  2 
ex  3
dx  2
dt
0


t 1
2t 2
4 
t

 



dt  2  1  2
 2
 dt  2 t  2 arctg   2  2  2   4  
2 0
4
0 t 4
0  t 4


2

2

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

2

1

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL



[7.3]Calcular:

ln 2

e x  1 dx

0

Solución



ln 2
0

 x
e  1  t 2

e x  1 dx   x  ln(1  t 2 )

2tdt
 dx 
1 t2


t

0 
ln 2 1 
x
0



1
0

1

t

2
2t
 t dt 
dt
2

t2 1
 0 t2 1

1 

1
 
 
 2  1  2  dt  2 t  arctg t  0  2(1  arctg1)  2 1    2 
2
 0  t 1
 4
1

[7.4] Calcular lassiguientes integrales:
4

1)

dx


 1 2 x (1  x ) 2

1

2)

dx


 0 1  x2

Solución

1


1  x  t  2 x dx  dt 
4
3

  3 dt
1
dx

1 1  1
1) 
1
2
x
t







    

  2

2
t 2
3 2 6
 1 2 x (1  x ) 
 2 t
x 4t 3





2

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

INTEGRALDEFINIDA

2)



1

0

 x  sen t  dx  cos t dt 




   2 1  sen 2 t cos t dt   2 cos 2 tdt 
x 0t 0
1  x 2 dx  
0
0






x
t
1


2




2 1
1
sen 2t  2 


1  cos 2t dt  t 

0 2
2
2  0
4

[7.5] Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias
1)


 1 dx
 2
1 x2)


 1 dx

1 x

Solución
1)

u
u

 1 dx  lim  1 dx  lim   1    lim   1  1  1  0  1

 2

  u   u 
u   x 2
u  
1 x
x
1
1 


La integral es convergente.

2)






u
 1 dx  lim  1 dx  lim ln x u  lim  ln u  ln1    1  
 1 u 


u   x
u 
1 x
1

La integral es divergente.

EscuelaUniversitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

3

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

[7.6] Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias
0

1

dx
1) 
3
  2 ( x  1)

3


3) 
1

1
1

2) 
dx
 1 x 4

1
dx
x 1

Solución

1) La integral es impropia de segunda especie porque el denominador de la función
1
seanula en x  1 .
f ( x) 
( x  1)3
0

1

1u

0

0

1
1
1
1
1





dx  
dx  
dx  lim 
dx  lim 
dx 

3
3
3
3
3
u 0 
v 0 
  2 ( x  1)
  2 ( x  1)
 1 ( x  1)
 2 ( x  1)
1 v ( x  1)
 1 u
0




1
1 
1 
1 
 1
 1




lim
 lim 

  lim  2  1   lim  1  2  
2 
2 

u  0 2( x  1)
v 
2 u0  u
 2 v 0 
 2  v  0  2( x  1)   1 v 




1
1 1 1 1
1
lim 2    lim 2    
2 u0 u
2 2 2 v 0 v

La integral es divergente puesto que no existe el límite anterior, sin embargo, al hacer
u  v para obtener el valor principal de Cauchy se simplifican los límites y queda igual
a cero.

4

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