integrales multiple

Integración Múltiple

MOISES VILLENA

5
5.1 INTEGRALES DOBLES
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4

DEFINICIÓN.
TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
TEOREMA FUBINI
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES
GENERALES
5.1.5 PROPIEDADES
5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE
INTEGRACIÓN
5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES
5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
5.1.9INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS
CILÍNDRICAS.
5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA
INTEGRALES DOBLES
(TRANSFORMACIONES)
5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE

5.2 INTEGRALES TRIPLES
OBJETIVOS:
• Calcular Integrales Dobles.
• Invertir el orden de integración.
• Calcular Volúmenes.
• Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones.
• Calcular áreas de una Superficie.

149

Integración MúltipleMOISES VILLENA

5.1 INTEGRALES DOBLES
5.1.1 DEFINICIÓN
La integral definida para funciones de una variable se la definió de la
siguiente manera:
b

∫
a

⎡ n
⎤
f ( x ) dx = lím ⎢
f xi Δxi ⎥
n→∞
⎣ i =1
⎦

∑ ( )

La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la
curva

y = f ( x) en un intervalo [ a, b ] .

Si quisiéramos obtener una Integraldefinida para una función de dos
variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración
sería de la forma
denotamos como

[ a, b] × [ c, d ] , es decir un rectángulo de

R 2 , la cual la

R.
y

d
R

c
a

b

R , de dimensiones no necesariamente

Haciendo particiones de la región
iguales:
ym

d
ym −1

x

y
R
Δy m
Δxi
Δyi

yj

y2

Δy2

y1

cy

Δy1
Δx1

0

Δx2

Δxn

a
x0

150

x1

x2

xi

xn −1

b
x
n

x

Integración Múltiple

MOISES VILLENA

La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al
área de esta partición, que estaría dada por:

ΔAij = Δxi Δy j

Podemos definir una función de dos variables

R , que para la ij − ésima partición sería:

(

z = f ( x, y )en la región

)

f xi , y j Δxi Δy j
Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica
siguiente:

z

(

zi = f xi , y j

z = f ( x, y )

d

c

y

a

Δxi
b

)

(x , y )

•
Δy j

i

j

x

El punto

( x , y ) , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo.
i

El volumen del

j

ij − ésimo

paralelepípedo, denotémoslo comodado por:

(

ΔVij , estaría

)

ΔVij = f xi , y j Δxi Δy j .
Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer
una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos, es decir:

V = lim

∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δ y
m

n→∞
m→∞ j =1

n

i

j

i

j

i =1

151

Integración Múltiple

MOISES VILLENA

De aquí surge la definición deIntegral doble

Sea f una función de dos variables
definida en la región plana
R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d }
Al

∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δy
m

lim

n→∞
m→∞ j =1

n

i

j

i

j

se

le

i =1

denomina la Integral Doble de f en R y
se la denota de la siguiente manera:
d

b

c

a

∫ ∫ f ( x, y)dxdy
Además, si existe este límite decimosque
f es integrable en R .
Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de la
Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cómo
evaluarla.
En la definición se dice que si el límite existe la función es integrable, pero
surge la interrogante ¿cuándo será que el límite exista?. Esto lo veremos en
el siguiente teorema.

5.1.2 TEOREMA DEINTEGRABILIDAD
Sea f una función de dos variable
definida
en
la
región
plana
R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d }
Si f está acotada en R y si f es continua
en R a excepción de un número finito de
curvas suaves, entonces f es integrable
en R .
Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable,
si la función es continua será integrable.
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