Integrales multiples 6

570

I C A P Í T U L O 7 I Cálculo de varias variables

PROBLEMAS
Evalúe estas integrales

7-76

17.6

dobles.

"1 f2

J J

2.

x ydxdy
2

j

í

x ydydx
2

ro

nn2

(x +
J

5.

J

1xe dxdy
2xy
dxdy
T3 r i
i jo x T T
y

i ri

6.

x e dydx
2

n

•1 f5

f^l

x y dydx
0

xy

Jo Jo

T

4

2y)dydx

J-l

0

~y dxdy
2

Jl

3 f2

-dydx
2
4

Ji

xy

i o

-

11.

12.

x?y dydx

lo

•1

*

*

vVl

Ji

- y2

dxdy

"i

fl-y

13.

n

1 f5

;o Jo

14.

(2x + y) dxdy
Jo

u

fVx

2xy dy dx
lo Jx

Jy-l

2

•1 T4

15.

16.

dy dx
o Jo

17.

r

í
e - dydx
Jx
3 rVio-y
xy de dy
y

x

0

e flnx
xy dy dx

2

18.

1 JO

0

J//4

£ n los problemas del 19 al 24 use desigualdades para describir R en términos de sus secciones transversales
cales y horizontales.
19.

R es la región limitada por y = x y y = 3x.

20.R es la región limitada por y = V x y y = x .

2

2

21. R es ei rectángulo con vértices ( - 1 , 1), (2, 1), (2, 2) y ( - 1 , 2).
22.

R es el triángulo con vértices (1, 0), (1, 1), y (2, 0).

23.

R es la región limitada por y = In x, y = 0, y x = e.

24.

R es la región limitada por y = e , y = 2, y x = 0.
x

En los problemas del 25 al 36 evalúe la integral doble dada para la región R indicada.rr
25.

3xy dA, donde R es el rectángulo limitado por ¡as rectas x = -1, x = 2, y = — 1, y y = 0.
2

(.r + 2y) dA, donde R es el triángulo con vértices (0, 0), (1,0) y (0, 2).
R

27.

j \xe dA, donde fv es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1).
y

R

verti-

S E C C I Ó N 7.6

28.

48xy dA, donde R es la región limitada por y = x

Integrales dobles I 5 7 1

y y = Vx.

JJ

29.

30.

II (2y - x) dA, donde R es la región limitada por y = x

2

u

I 12x dA, donde R es la región limitada por y = x

2

y y = 2x.

y y = 6 - x

R

31.

(2x + 1) dA, donde 7? es el triángulo con vértices ( - 1 , 0), (1, 0), y (0, 1).
R

rr
32.

i

\2x dA, donde R es la región limitada por y ——, y = x, y x = 2.
R

f
3.

f/34.

ff

I I

2

j je

y

1
^

1
dA, donde /? es el triángulo limitado por lasrectas y = -x, y — —x, y y = 2.

dA, donde R es la región limitada por y = \fx, y = 1, y x = 0.

R

fÍ5.

36.

[ í 1 2 x V dA, donde /? es la región del primer cuadrante limitada por y = x
2

3

y y = x.

J J ' y dA, donde # es la región limitada por y = ln x, y = 0, y x = e.

£ n /os problemas del 37 al 44, dibuje la región de integración para la integral dada y plantee una integral equivalente conel orden de integración invertido.
r n-*
I I
f(x,y)dydx
2

37.

2

38.

JO JO

fVS
f{x,y)dydx
0JX
3

[4

40.

2

43.

f(x,y)dydx
Jl Jlnx
n r2
f(x,y)dydx
J-lJ^ + l

r^fy

J0 Jy/2

rin 3

re n
41.

f(x,y)dxdy

JO JO

fl

39.

f p?
| |

42.

44.

f(x,y)dxdy

r3

f{x,y)dydx
Jo Ji?
ri rVy+i
f(x,y)dxdy
J-lJ-Vy
+í

En los problemas del 45 al 54 use una integral doble para hallar el área de R.
45. 7? esel triángulo con vértices (—4, 0), (2, 0), y (2, 6).
46. R es el triángulo con vértices (0, — 1), ( - 2 , 1), y (2, 1).
1 7
47. R es la región limitada por y = - X y y = 2x.
48. R es la región limitada por y = V x y y = x

572

I CAPÍTULO 7

Calculo de varias variables

49.

R es la región limitada por y = x - 4x + 3 y el eje x.

50.

i? es la región limitada por y = x + 6x + 5 y el eje x.

7-782

2

* 51.

i? es la región limitada por y = ln x, y = 0 y x — e.

¡ 52.

/? es la región limitada por y = x, y = ln x, y = 0 y y = 1.

^ 53.

i? es la región del primer cuadrante limitada por y = 4 - x , y = 3x y y = 0.

54.

2

16
R es la región limitada por y = — , y = x, y x = 8.

£>z /oí problemas del 55 al 64 encuentre el volumen del sólido bajo la superficie z = /fx, y) y sobre la región Rdada.

55. f(x, y) = 6 - 2x - 2y ;
/?:0 57.

/(x,y)

56.

xy

58.

/ ( x , y ) = ^ ;

60.

/?:0 61.

/ ( x , y) = 2x + y ; i? está limitada

/ ( x , y) = x + 1 ; R está limitada
por y = 8 - x

2

2

2

/(x,y) = ^ > ;
+

/(x,y) = ( l - x ) ( 4 - y ) ; i?:0
62.

por y = x, y = 2 - x, y y = 0.
63.

9-x -y ;

/?: 0 < x < 1,0 < y < ln 2

i?:l 59.

/(x,y) =

R: - 1 <...

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