integrales trigonometricas














Integrales trigonométricas
Potencias pares de sen x o cos x
Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad:





Potencias impares de sen x o cos x
Se relacionan elseno y el coseno mediante la fórmula:





Con exponente par e impar
El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.







Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)
Se transformanlos productos en sumas:








Integrales por partes
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funcioneslogarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejemplo





Si al integrar por partes tenemosun polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.













Integrales racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menorque del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces deldenominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
1º Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C sonnúmeros que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
Ejemplo




Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, losnumeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.




2º Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción puedeescribirse así:

Ejemplo




Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.






3º Integrales racionales con raíces complejas...