Integrales

INTEGRAL INDEFINIDA
Daremos el nombre de función primitiva de la función f(x) en el intervalo (a,b) a toda función real de variable real F(x), derivable, tal
que para todos los puntos del intervalo (a,b) verifique F'(x) = f(x).
No se excluye que una función f(x) tenga más de una primitiva puesto que ( F(x) + C)' = F'(x) = f(x), por lo tanto tenemos que F(x)
+ C es también primitiva de f(x) œC constante.
Al conjunto de funciones primitivas de f(x) le llamaremos integral indefinida de f(x), designado porm f ( x ) d
Dada una primitiva cualquiera de una función f(x), que denotaremos por F(x), podemos escribir m f ( x ) d = F(x) +C
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Si F y G son dos primitivas de f entonces F - G es una constante y viceversa
( F - G )` (x) = F`(x) - G`(x) = f(x) -f(x) = 0 F(x) - G(x) = cte
(F - G) (x) = cte F - G = C
m [ f ( x ) % g ( x ) ] d x ' m f ( x ) d x % m g ( x ) d x
Sean m f ( x ) d = F(x) + K ] F'(x) = f(x) y m g ( x ) d x = G(x) + H ] G'(x) = g(x)
m f ( x ) d x % m g ( x ) d x = F(x) + K + G(x) + H =
F(x) + G(x) + ( K + H) = F(x) + G(x) + C =
(F + G) (x) + C
con lo que comprobamos que es una primitiva de F + G en conclusión
m [ f (x ) % g ( x ) ] d x ' m f ( x ) d x % m g ( x ) d x
m k f ( x ) d x ' k m f ( x ) d x
La demostración es análoga a la anterior.
INTEGRAL DEFINIDA
Si conocemos la ecuación de una curva y = f(x) donde f(x) $0, ¿cómo calcularemos el área entre el eje OX, la curva y las abcisas x
= a, x = b?.
Denotaremos por = = m
b
a
f ( x ) d x m
b
a
f ( x ) m
b
a
f
al área que andamos buscando.Definimos una partición de un intervalo [a, b] como una sucesión de puntos, no necesariamente a la misma distancia unos de otros,
pero se puede tomar en ese sentido para simplificar los cálculos,
P = { x0, x1, x2 ,x3, ... Xn} donde
x0 = a < x1 < x2 0
Se llama suma superior de la función f asociada a la partición P, y se designa por S(f, P) al siguiente número real:
S(f,P) = (x1-x0) M1 + (x2-x1)M2+ .... + (xn -xn-1) Mn.
Se llama suma inferior de la función f asociada a la partición P, y se designa por I(f, P) al siguiente número real:
I(f,P) = (x1-x0) m1 + (x2-x1) m2 + .... + (xn -xn-1) mn
Evidentemente I(f,P) # S(f,P)
INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA FUNCIÓN
Partiendo de la desigualdad anterior podemos seguir el razonamiento dentro de una partición P del intervalo [a, b]
Tomaremos unpunto ci en cada subintervalo [ xi-1, xi.], entonces mi # f(ci) # Mi además sabemos que xi - xi-1---> 0 lo que hace que mi ---> Mi
Por lo tanto:
I(f,P) # j f(ci) (xi - xi-1) # S(f,P) n
i'1
por lo que el área buscada está comprendida entre I(f,P) y S(f,P)
I(f,P) # Área # S(f,P) (1)
A continuación obtendremos el término general de la sucesión:
sn = j f(ci) (xi - xi-1) n
i'1
y dado que (xi -xi-1) --->0 es evidente que
l í m I(f,P) = S(f,P)
n6 4
l í m
n6 4
Por la desigualdad obtenida en (1) sabemos que
I(f,P) # sl í m n # S(f,P) por lo tanto
n6 4
l í m
n6 4
l í m
n6 4
sn l í m =
n6 4
m f ( x ) d
a este límite se le dio el nombre de:
integral de Riemann o simplemente INTEGRAL DEFINIDA
de la función f en en el intervalo [a, b].
En su verdadera extensión la integral deRiemann se define no sólo para funciones continuas sino para funciones donde no se puede asegurar
la existencia del máximo o del mínimo; se trabaja entonces con la idea del supremo o del ínfimo de una función.
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Interpretación geométrica de la integral definida
La integral definida de f(x) entre x= a, y x= b, siendo f(x) $ 0, œx 0 [a, b] es el áreaencerrada entre la función f(x), y las rectas x =a, x= b, y el eje OX.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1.- cualquiera que sea f. m
a
a
f ( x ) d x ' 0
2.- Si f(x) >0 œ x 0[a,b] entonces > 0. m
b
a
f ( x ) d x
Si f(x) < 0 en todo el intervalo [a,b] entonces < 0 m
b
a
f ( x ) d x
3.- Si f es continua en [a,b] y a < c < b entonces
+ = m
c
a
f ( x ) d x m
b
c
f ( x ) d x m...