Integrales

IV) LA INTEGRAL
1. La integral indefinida
Funciones primitivas
Definición. Sea f una función, se dice que F, función derivable, es una primitiva de f si se verifica F ’=fEjemplo 1. Si f(x)= 3x2 una primitiva es F(x)= x3. Otra G(x)= x3+7
Proposición.1. Si F es una primitiva de f entonces F+C también lo es.
En efecto ya que  (F+C)’=F’+C’= F’ +0= fProposición.2.Si una función f tiene derivada nula en un intervalo entonces f es constante. (se admite sin demostración)
Teorema. Si F1 y F2 son primitivas de f, entonces se diferencian en unaconstante, es decir F1= F2+C
Demostración
Si F1 es primitiva de f ⇒ F1’(x)= f(x); si F2 es primitiva de f ⇒ F2’(x)= f(x)
Luego F1’(x)- F2’(x)= 0 ⇒ F1-F2= C
Consecuencia.Dada una primitiva F de f, el conjunto de sus primitivas es F+C. A dicho conjunto se le llamará la integral indefinida de f y se escribirá [pic] ó [pic].
A f(x) se le llama integrando y al símbolo[pic], símbolo de integración.
Propiedades de la integral indefinida (Linealidad)
1) [pic]
Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas
2)[pic]
Es consecuencia de que si F es primitiva de f ⇒  kF es primitiva de kf, pues (kF)’= kF’= kf
2. Integrales inmediatas
Tabla de primitivas (hacerla teniendo en cuenta la dederivadas y su relación)
Integrales inmediatas (o casi inmediatas)
Llamamos así a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de lafunción que se ha derivado.
Ejemplo 2. a) [pic]; b) [pic]
Ejercicio 1. Calcula las siguientes integrales inmediatas:
a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]; d) [pic]
 
3. Métodos deIntegración
I). Método de descomposición
Se basa en la linealidad de la integral indefinida
Ejemplo.3 [pic]=[pic]+C
Ejercicio.2. Calcula [pic].
II). Integración...