integrales

Consideremos la curva r( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k, y supongamos que está definida en un intervalo [a, b], y supongamos además que existe la derivada de r( t ) y además su derivada es nonula en dicho intervalo (en este caso se dice que la curva es suave en dicho intervalo). Denotemos a la curva definida por r( t ) como C.
Sea f una función con valores reales definida sobre la curvaC. Vamos a definir lo que entenderemos por la integral de línea de f sobre C.
Supongamos que en el intervalo [a, b] realizamos una partición que llamaremos D,

D : a = t0 < t1 < ... < tn = bEsta partición induce a una partición en la curva en los siguientes puntos

P0 = r( t0), P1 = r( t1 ), ... , Pn = r( tn )
Ahora bien, en cada intervalo [tm-1, tm] seleccionemos un elemento arbitrariotm y definamos Qk = r( tm ). Formemos ahora la suma

donde Dxk = xk - xk-1. Ahora si el siguiente límite existe entonces su valor se denotará por

(1)Definiciones similares se obtienen para las integrales

(2)
El desarrollo analítico de las integrales (1) y (2) las entrega el siguiente teorema
Teorema. Si C es una curva suavedefinida por r( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k , con t en el intervalo [a, b], entonces

Demostración. (Esbozo) Para toda partición D se tiene que

donde en la última igualdad hemosaplicado el teorema del valor medio, con xk entre [tk-1, tk] y Qk = r( xk ). Y esta expresión es la aproximación de una derivada simple real, de modo que aplicando el límite a la partición D, esto escuando D tiende a cero, obtenemos el resultado.
Ejercicio. Calcular la siguiente integral de línea

(3)
donde C es el arco de curva definido por y = 3x2 desde (0, 0) hasta (1, 3).Solución. La curva la parametrizamos de manera trivial, esto es r( t ) = x( t ) i + y( t ) j, con

x( t ) = t ; y( t ) = 3t2 con t en [0, 1]
de este modo la integral de línea en (3) se...