Integrales

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EJERCICIO PARA ENTREGAR
A) Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la superficie de hierba que puede comer la vaca.
B) Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura. Sabiendo que el material reflectante del faro tiene un precio de 10 euros/m2, hallar el precio de dicho materialpara a=0,15m.
[pic]
1.- Demostrar las siguientes relaciones:
a) [pic]
b) [pic]
c) arg sh x = ln [pic]
d) Si y = arg sh x, entonces [pic]
e) Si y = arg th x, entonces [pic]
2.- Determinar la curva que pasa por el punto (4π2,1) y cuya pendiente, en cada punto (x,y), tal que x>0, es [pic] .
3.- Hallar el valor de ( que cumpla que [pic]=2(, siendof(x)=[pic] ¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que f(c)=(? ¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?
4.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) F(x)= [pic] b) G(x)= [pic].
5.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -(/2 y (/2.
b) Hallar el área de la región limitada pordichas funciones entre los puntos de corte hallados en el apartado anterior.
6.- Dada la función f(x) =[pic], cuya gráfica es la de la figura, se pide:

[pic]
a) Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el eje Y.
b) Calcular el área encerrada por f(x) y el eje X en el intervalo [-1,0].
c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,()?
7.- a) Estudiar laconvergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes integrales
[pic]
b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el área encerrada entre la función [pic] y el eje de abscisas (OX) en el intervalo [-2,2].
8.- Analizar, aplicando algún criterio de convergencia el carácter de las integrales siguientes:
a) [pic], b)[pic] [pic]
9.- Para lafunción [pic], determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva y = f(x) y
el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
10.-
Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación es: [pic].Calcular lalongitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.

11.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad ¿Cuál es la profundidad del agua?

12.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el arco de curva y=senx entre x = 0 y x = ( y cuyas secciones planas perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
13.- Calcularla longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
14.- Dada la hipérbola [pic]. Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa positiva.
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo [pic].
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la hipérbola respecto del eje X siendo [pic].
15.- Para un arco de cicloide [pic].Se pide:
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OX.
d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide respectodel eje X.
16.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide:
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X alrededor del eje OX.
d) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje X.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- La tasa de variación en la...
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