Integrales

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UNIDAD 3
“INTEGRALES DEFINIDAS”
La integral definida se representa por:

Donde:
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se
integra.
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Sedefine la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota:

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x),cambiado de signo.
PROPIEDADES DE LAINTEGRAL DEFINIDA
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2.-Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3.-Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4.-La integral definida de una suma defunciones es igual a la suma de integrales·

5.-La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

* TEOREMA DE EXISTENCIA PARA INTEGRALES DEFINIDAS

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'paratodo x, y,...existe(n)...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

Sea una función real y = f (x), que es continua en unintervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:
El valor f (c) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a, b].
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.
2) El valormedio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodosnuméricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.
También, vimos que cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) ≥ 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación: abfxdx = cambio total en f(x) cuando x cambia de a a b.
Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivadade F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, podemos definir abfxdx=fb-f(a)
Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:

Si v (t) es el volumende agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así t1t2v´tdt = v(t2)-v(t1), es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t1 y t2.
Si [c] (t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t)....
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