Integrales

Independencia del camino en una integral de línea. Calcular el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de un tramohorizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lógico o no.



Solución:

a) Si llamamos C a la curvaindicada, la podemos subdividir en las curvas C1 y C2 mostradas en la figura. En tal caso tendremos:



Ejecutando ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizaciones simples):Con lo cual resulta:



b) Llamando C* a este nuevo camino, vemos que lo podemos separar en dos tramos C3 y C4.

Tendremos entonces, igual que en el apartado anterior, que



Realizandoparametrizaciones parecidas a las ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo siguiente:



Sumando esto se obtiene:



Por ambas vías obtenemos el mismo resultado. Esto es lógico, yaque vemos que:



Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto último no ocurre dentro de un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto,por el teorema 5 las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales.*

) Cálculo de una integral de línea usando una función potencial. Calcular la integral de línea del campo vectorial F(x;y) =P(x;y)i + Q(x;y)j = eyi + xeyj a lo largo de la trayectoria:

r(t) = (senh(5t4)/senh5; t4 + 5t3 - 3t2 - 2t) , =0 " t " 1

Solución:


! F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como elgradiente de una función potencial f; esto es: "f = F. Si obtenemos tal función f, podremos aplicar el teorema fundamental de las integrales de línea.

Para ello notemos que:


(1),

dondeg(y) es una función que depende solamente de la variable y. Si ahora derivamos la función f obtenida respecto a y, debemos llegar a una expresión equivalente a la otra función coordenada, esto es, Q....