Integrales

UNIDAD IV

INTEGRALES DEFINIDAS
 
ACTIVIDAD 1: Calcule cada una de las siguientes integrales definidas:

a) [pic] b) [pic]
c) [pic] d) [pic]
Resolución inciso a) [pic]

[pic]. Respuesta: 20

ACTIVIDAD 2: Calcule el área comprendida entre las curvas [pic] e [pic].

Resolución:

Para encontrar los extremos de integración de la variable x, se busca la intersecciónentre las curvas dadas y1= x + 2 e y2 = x2 – 4. Se igualan sus ecuaciones,

[pic]

Se determinan las raíces:

[pic]

Por lo tanto, los extremos de integración de la variable x son: x = -2 y x = 3.

Para plantear el integrando, se busca la función que limita en el borde superior y la función que limita en el borde inferior y luego se hace la diferencia entre ellas. Así, para establecer-sin realizar la grafica- cuál es la función que tiene mayor imagen, en el intervalo [pic], se evalúa las dos funciones en un valor de x que pertenece al mismo, por ejemplo, [pic],

[pic]

La función [pic], tiene mayor imagen que la y2 para ese valor de x dado, entonces, en el integrando se realiza la diferencia de la función lineal menos la función cuadrática.
Luego, se resuelvealgebraicamente, se integra y por último, se aplica la regla de Barrow.
[pic]

ACTIVIDAD 3: Representa la curva y = 2x + x2 – x3 y halla el área que encierra la misma con el eje x y las rectas x = -1 y x = 1.
(Ayuda: Las intersecciones de la curva con el eje x son: x = -1, x = 0 y x = 1).

ACTIVIDAD 4: Las rectas [pic] determinan un triángulo. Halla el área del mismo y realiza su grafica.ACTIVIDAD 5: Sea [pic]. ¿Qué valor debe tener a para que el área encerrada por la curva y=f(x), y=2 y el eje vertical sea igual al área encerrada por la curva y = f(x), x =a y el eje horizontal?

Resolución:

La gráfica de la función dada es:

[pic]

Se ha de cumplir, según el enunciado que A1= A2 + A3. Tenemos:

[pic]

Entonces: [pic]. Respuesta: a =[pic]

ACTIVIDAD 6: Laganancia marginal de un fabricante es [pic]. Halle B(x) lograda por el aumento de la producción de dos a cuatro unidades.

Resolución:
[pic]

Respuesta: La ganancia al aumentar la producción de dos a cuatro unidades es de $ 704

ACTIVIDAD 7:El costo marginal de un productor es [pic].¿Cuál es el costo total [pic] de fabricar cinco unidades adicionales si se van a producir tres unidadescorrientemente?

ACTIVIDAD 8: Calcule el superávit de los consumidores y el superávit de los productores para las curvas de demanda y oferta dadas. Función de demanda:[pic]. Función de oferta:[pic]

Resolución
El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:

Determinamos el punto de intersección, [pic], entre la oferta y la demanda, igualando ambasfunciones :

[pic]
Luego, hallamos el valor de imagen para [pic], reemplazando en una de las dos funciones:
[pic]
Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 10 y, por lo tanto, p0 = 30.

Así, el punto de equilibrio, es: [pic]= (10; 30)
El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p1 (q)  y  la recta   p= 30, entre 0 y 10, o sea:

[pic]

Respuesta: El excedente de demanda asciende a $ 150
El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p=30 y [pic] entre 0 y 10, o sea:
[pic]

Respuesta: El superávit de oferta alcanza $ 100.

ACTIVIDAD 9: En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el comportamiento de la oferta y la demanda de un determinado artículo, losresultados obtenidos quedaron caracterizados por las siguientes funciones:[pic], en las que “q” representa las cantidades demandadas y ofertadas y [pic], el precio de los artículos, respectivamente. Calcule el superávit de los consumidores y el superávit de los productores

ACTIVIDAD 10:Halle el superávit o excedente del consumidor en el nivel indicado, para [pic]

ACTIVIDAD 11: Cuando tiene...