integrales

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Matemática

INTEGRALES
Hasta aquí estudiamos el concepto de derivada, donde se desarrolló cómo, a partir de una
función f ( x ) ,es posible buscar otra función f 
( x ) a la que se denomina su función
derivada. En este apartado plantearemos el problema inverso.
Dada una función f ( x ) , determinaremos (cuando sea posible) otra función F ( x ) de modo
tal que la derivada de F( x ) sea f ( x ) , es decir: F 
( x ) f ( x ) .
Por el hecho de estar procediendo en forma inversa es que muchos llaman a este
proceso antiderivación. También se dice que F ( x ) es una primitiva de f ( x ) , expresión
que nosotros adoptaremos.

Definición

Si para todos los puntos de un intervalo real 
a , b se verifica que F 
( x ) f ( x ) , entonces
F( x ) es una primitiva de f ( x )sobre dicho intervalo.

Ejemplo 1.
Calcular una primitiva de f ( x ) cos x
Solución
De la definición se desprende que es necesario encontrar una función F ( x ) tal
que,
F
( x ) cos x
Sabemos que la función seno tiene por derivada a la función coseno, de modo
que

( senx )cos x
F( x ) senx

Luego

Pero, senx no es la única primitiva de cosx, ya que cualquier función como
senx + 2 ; senx - 10
dala función cos x al ser derivada.
Y en general, lo será cualquier expresión de la forma

F( x ) senx k ,
con k una constante numérica arbitraria.

Ejemplo 2
Hallar una primitiva de f(x) = 2x
Solución
Usando nuevamente la definición, queremos encontrar una función F(x) tal que

F
( x ) 2 x
2

2

Sabemos que F(x) = x cumple con esta condición pues (x )’ = 2x.
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Luego es
F(x) = x

2

2

Nuevamente observamos que F(x) = x no es la única primitiva de 2x, pues
también lo son,
2

2

F(x) = x + 5 ; F(x) = x – 10
2

Y, en general, lo será cualquier expresión de la forma F(x) = x + k, con k una
constante numérica arbitraria.
De los ejemplos, se deduce que si F(x) y G(x) son dos primitivas distintas de f(x),
entonces existe unnúmero real k, distinto de cero, tal que F(x) = G(x) + k.
Es decir, que si F y G son dos primitivas distintas de f, sólo difieren en una constante.
Lo enunciamos mediante:

Propiedad 1:
Si F ( x ) y G( x ) son dos funciones primitivas distintas de la misma función f ( x ) sobre el
intervalo real 
a, b
, su diferencia es una constante.

Definición

Si F( x ) es una primitiva de f ( x ) , laexpresión F( x ) k se denomina integral indefinida
de la función f ( x ) .

Indicamos la integral indefinida de f(x) en la forma siguiente

f ( x ) dx

De acuerdo con la definición resulta

f ( x ) dx

En la expresión

F ( x ) k

f ( x ) dx




se denomina integrando a la función f(x)



d(x) se lee diferencial x y sirve para identificar a x como la variable de integración.

Así, escribimos

2x
dx  x 2 k

para indicar la integral indefinida de la función f(x) = 2x
integrando.

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y la función f(x) = 2x es el

2

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Ejemplo 3
Verificar si F ( x ) es o no una primitiva de f ( x ) en cada caso.

1
e x
x

a) F ( x ) ln x e x

f( x) 

b) F( x ) senx x 3

f ( x ) cos x x 2

Solución
Para verificar que F ( x ) es primitivade f ( x ) es necesario probar que
F
( x ) f ( x ) .

F ( x ) ln x e x ;

a)

f( x ) 

1
x
e
x

1
x
e  F' ( x ) f ( x )
x
Luego; F( x ) es primitiva de f ( x ) .
F' ( x ) 

F ( x ) senx x 3 ; f ( x ) cos x x 2

b)

F' ( x ) cos x 3 x 2  F' ( x ) f ( x )
Luego; F( x ) NO es primitiva de f ( x ) .

Observación:


No toda función f ( x ) definida sobre un intervalo real 
a , badmite primitiva, ya
que dada una función puede no existir otra que la tenga por derivada.



Por otra parte la integral indefinida
representa una familia de funciones
y F ( x ) k , cuyas gráficas se
obtienen mediante desplazamientos
(verticales) de la curva y F ( x )
sobre el eje de ordenadas y.
En el gráfico mostramos algunos
2
ejemplos de la familia F(x) = x + k.

2

f(x) = 2x  F(x) = x...