integrelas dobles

Tema 10

Integrales dobles y triples
Hasta ahora se han calculado el ´rea de figuras geom´tricas planas elemena
e
tales: el rect´ngulo, el c´
a
ırculo, el trapecio, etc. Pero, ¿c´mo calcular el ´rea
o
a
de figuras no regulares? Una buena aproximaci´n puede ser la de dividir la
o
zona en peque˜os rect´ngulos y sumar las ´reas de cada uno de ellos:
n
a
a

Figura 10.1: Mallado para laaproximaci´n del ´rea
o
a

Esta idea era la que subyac´ en la construcci´n de la integral que vimos
ıa
o
en el tema anterior y que nos permiti´ calcular longitudes de curvas, ´reas
o
a
limitadas por curvas y vol´menes de cuerpos de revoluci´n. En este tema, se
u
o
generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables,
obteniendo las llamadas integrales de´rea o de volumen, respectivamente.
a
Esto nos permitir´ calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies,
a
no necesariamente de revoluci´n. Tambi´n permitir´ calcular ´reas mediano
e
a
a
te integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo m´s
a
complicadas. Se empezar´ definiendo la integral sobre un rect´ngulo.
a
a

206

10.1.

Integrales dobles sobrerect´ngulos
a

Sea f (x, y) una funci´n acotada sobre un rect´ngulo R = [a, b] × [c, d]. Una
o
a
partici´n del rect´ngulo R son dos conjuntos de puntos {xj }n e {yj }m ,
o
a
j=0
j=0
satisfaciendo
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b

c = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = d

es decir, P = P1 × P2 , donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d],
respectivamente.
Se llama ´rea de R a v(R) =(d−c)(b−a). Toda partici´n divide al rect´ngulo
a
o
a
R en n · m subrect´ngulos Rjk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], j = 1, . . . , n, k =
a
1, . . . , m como se observa en la Figura 10.2.
Se llama norma de la partici´n P a
o
P = m´x{v(Rjk ) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . , m}
a

Figura 10.2: Una partici´n del rect´ngulo R = [a, b] × [c, d]
o
a
Consid´rese cualquier punto cjk delrect´ngulo Rjk y f´rmese la suma
e
a
o
n−1 m−1

f (cjk )v(Rjk )

S(f, P ) =
j=0 k=0

207

llamada suma de Riemann para f
En la siguiente gr´fica hemos representado las sumas de Riemann para la
a
funci´n f (x, y) = x2 + y 2 tomando como punto cjk el punto medio del
o
rect´ngulo y el punto inferior del rect´ngulo.
a
a

2

2
1.5

1.5
1

1
0.5

0.5
0
0 0.25
0.5
0.751 0

1
0.75
0.5
0.25

1
0.75
0.5
0.25

0
0

(a) cjk como punto inferior

0.25

0.5

0.75

1

0

(b) cjk como punto medio

Figura 10.3: Sumas de Riemann
Definici´n 10.1 Si la sucesi´n {S(f, P )} converge a un l´
o
o
ımite S, cuando
la norma de la partici´n tiende a 0, que es el mismo para cualquier elecci´n
o
o
de cjk , entonces se dice que f es integrable sobreR y se escribe
n−1 m−1

f (x, y)dxdy = l´
ım
R

P →0

f (cjk )v(Rjk )
j=0 k=0

A continuaci´n se resumen las propiedades m´s importantes de las funciones
o
a
integrables.
Teorema 10.2 Sean f y g dos funciones integrables sobre un rect´ngulo
a
R. Entonces
208

1. (Linealidad) f + g es integrable sobre R y
(f (x, y) + g(x, y))dxdy =
R

f (x, y)dxdy +
R

g(x, y)dxdy
R2. (Homogeneidad) αf es integrable sobre R, para todo α ∈ R, y
αf (x, y)dxdy = α

f (x, y)dxdy

R

R

3. (Monoton´ Si f (x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces
ıa)
R

f (x, y)dxdy ≤

g(x, y)dxdy
R

4. (Aditividad) Si R = P ∪Q con P y Q dos rect´ngulos cuya intersecci´n
a
o
es una l´
ınea recta o un punto o vac´ entonces
ıa,
f (x, y)dxdy

f (x, y)dxdy +

f (x,y)dxdy =

Q

P

R

5. (Valor absoluto) |f | tambi´n es integrable y se verifica
e
R

f (x, y)dxdy ≤

R

|f (x, y)|dxdy

Un primer ejemplo de una amplia clase de funciones integrables la proporciona el siguiente teorema
Teorema 10.3 Toda funci´n continua sobre un rect´ngulo cerrado R es
o
a
integrable
Aunque la clase de las funciones integrables es mucho m´s amplia, el...