Interpretacion De La Derivada

Cálculo Diferencial e Integral

Límites

Cálculo Diferencial e Integral

El concepto de límite

El concepto de “límite” describe
el comportamiento de una

función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelve extremadamente grande

Cálculo Diferencial e Integral

El concepto de límite
Sea y  f(x) una función y c un número real.
La expresión
lim f  x   L
x c

significa que f  x se puede hacer tan cercano a L como se

quiera haciendo x suficientemente cercano a c.
Se dice "el límite de f en x, cuando x se aproxima a c, es L "
 Lo anterior es cierto aún si f  x   L

 Más aún, f  x  puede no estar definida en c.

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo1
g  x   5x2  7

g:RR

¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 2?



¿lim 5 x 2  7 ?
x2

Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [7, )  R

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo1
g:RR

g  x   5x 2  7





¿lim 5 x 2  7 ?
x2

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo1
g:RR





¿lim 5 x 2  7 ?x2

g  x   5x 2  7

Cálculo Diferencial e Integral
13

Límite. Ejemplo1
g  x   5x 2  7

g:RR





¿lim 5 x 2  7 ?
x2

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo1
g  x   5x  7

g:RR

2

¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 2?





lim 5 x  7  13
x2

2

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 1
g  x   5x  7

g:RR

2

¿Cuál es ellímite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 2?





lim 5 x  7  13
x2

2

En este caso,

lim f  x   f  c 
x c

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 2
Q : (0, )   1  R
Q  x 

x 1
x 1
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 1?
¿lim 



x 1



x 1
?
x  1

Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales positivosmenos el 1
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo  1,   R

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 2
Q : (0, )   1  R

x 1
Q x 
x 1



¿lim 
x 1



x 1
?
x  1

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 2
Q : (0, )   1  R

x 1
Q x 
x 1

¿Cuál es el límite de esta funcióncuando x tiende
o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
 x 1
lim 
2

x 1
 x  1

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 2

x 1
Q : (0, )   1  R
Q x 
x 1
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 1?


lim 
x 1



x 1
 2
x  1

Sin embargo, la función ni siquiera está definida en
x 1

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 3a:R  R

 3x  4
a x  
2
x


x5
x5

¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 1?
¿lim a  x  ?
x 5

Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
menos el intervalo (11,25]

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo3
a:R  R

 3x  4 x  5
a x  
2
x5
 x

¿lim a  x  ?
x 5

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 3

a:R  R

 3x  4 x  5
a x  
2
x
x5


¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 5?
lim a  x   No existe
x 5

Si nos acercamos por la izquierda tiende a 11
Si nos acercamos por la derecha tiende a 25

Cálculo Diferencial e Integral

Límite.Ejemplo 4

1
E : R   0  R
E  x 
x
¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende
o se acerca a 0?
1
¿ lim ?
x 0 x
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales menos el cero
Nota 2.- El contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales

Cálculo Diferencial e Integral

Límite. Ejemplo 4

E : R   0...