Intervalo de confianza

Profesor: Manuel Bórquez Núñez. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA En la estimación puntual atribuimos al parámetro el valor correspondiente del estimador obtenido en la muestra aleatoria de tamaño n. Es claro, que dicho valor difícilmente coincidirá con el verdadero valor del parámetro aunque el tamaño de la muestra sea muy grande. La estimación por intervalos consiste en atribuir alparámetro desconocido un rango de posibles valores (en base a los datos muestrales) que tengan una alta probabilidad de incluir entre ellos al valor del parámetro desconocido. Para ello será imprescindible conocer la distribución muestral del estadístico utilizado. El intervalo estimado que debe contener al parámetro se llama intervalo confidencial o de confianza. Denominamos límites confidenciales a losextremos de dicho intervalo. Llamaremos nivel de confianza a la probabilidad de que un intervalo contenga al parámetro desconocido y se suele denotar por 1 − α . Se llama nivel de riesgo o de significación al valor de α . Es decir, P (θ ∈ [ a , b] ) = 1 − α . Esto indica que el (1 − α )% de intervalos construidos contendrán al parámetro desconocido. Denominaremos error muestral máximo a ladiferencia entre el valor de la b− a € estimación muestral y el valor del parámetro; es decir, E = θ − θ = .

2

€ Ejemplo: Sea θ el parámetro desconocido y θ el estimador que 2 consideramos el cual sigue una distribución N ( θ , σ ) . Supongamos un error
€ muestral máximo E = θ − θ = 2 σ .
€  θ −θ  € ≤ 2 σ = P −2 σ ≤ θ − θ ≤ 2 σ = P −2 ≤ ≤ 2  = φ (2 ) − φ( −2 ) = σ   = 2 φ ( 2 ) − 1 = 0,9544 ya que el estimador seguía una distribución normal. € P θ−θ

Si calculamos la probabilidad de tener ese error o uno menor, obtendremos:

(

) (

)

Esta probabilidad podemos escribirla también de la siguiente forma:

€ € € € P (− 2 σ ≤ θ − θ ≤ 2 σ ) = P (2 σ ≥ θ − θ ≥ − 2σ )= P (− 2 σ + θ ≤ θ ≤ 2σ + θ )=

Manuel Bórquez N.

1

€ € = P θ ∈ θ − 2 σ , θ + 2σ

( [

])
[ ]tiene un nivel de

€ € Por tanto, el intervalo de confianza θ − 2 σ , θ + 2σ

confianza 1 − α =0,9544 o un nivel de significación de α =0,0456. Esto equivale a decir que tenemos la confianza 0,9544 de que, extraída una muestra y € calculado el valor de θ , éste no se aleja del parámetro más de dos desviaciones típicas o un riesgo de 0,0456 de que se aleja más de esa cantidad.

€ Dicho de otromodo, si sale una muestra en que θ está en la zona rayada el intervalo no contendrá a θ .
Normalmente lo que se hace es fijar de antemano el nivel de confianza y se busca el intervalo correspondiente a ese nivel de confianza utilizando la distribución muestral del estadístico.

Manuel Bórquez N.

2

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Si desconocemos la distribución de la población,podemos hallar un intervalo de confianza para la media, basándonos en un resultado que conocemos como Desigualdad de TChebychev. Sea X una v.a. cualquiera con media
P

µ y varianza σ 2 . Se cumple que:

k k 1  µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ≥ 1 − k 2

Usando el anterior resultado, aplicándolo a la variable aleatoria X y tomando

α=

1

k

2

, obtendríamos que el intervalo para un nivel 1 − αsería:

X − σ  n

nα

, Xn

+σ

nα 



Para analizar los resultados que presentamos a continuación, supongamos una población que se distribuye normal de media µ y varianza poblacional 2 σ . También servirán cuando la población no es normal pero el tamaño muestral es grande. a) Si σ es conocida.
2

Ya sabemos que

Xn − µ
σ

→ N ( 0, 1) . Sea z

1−

α

el percentil dela distribución

n

2

normal; es decir, φ ( z ) = 1 −

α . 2

  Xn − µ −z P ≤ ≤ z α  = 1− α 1−  σ  1− α 2 2 n  

 Haciendo operaciones P  X n − z α σ 1−  2

n

≤ µ ≤ Xn + z

1−

α

σ

2

  = 1− α n

Por tanto, el intervalo de confianza para µ será:  σ ,X + z α σ  X n − z 1− α 1− n n  2 2 b) Si σ es desconocida.
2

 n 

En este caso tenemos...