Introducción al método de elemento finito

I NTRODUCTION TO THE F INITE E LEMENT M ETHOD
G. P. Nikishkov

2004 Lecture Notes. University of Aizu, Aizu-Wakamatsu 965-8580, Japan niki@u-aizu.ac.jp

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Updated 2004-05-27

Contents
1 Introduction 1.1 1.2 1.3 What is the finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . How the FEM works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Formulation of finite element equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 Galerkin method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 8 11 11 12 13 15 15 16 18 21 21 22 22 23 24 25 26 28 28 29 30 30 31 31 31

2 Finite Element Equations for Heat Transfer2.1 2.2 2.3 Problem Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finite element discretization of heat transfer equations . . . . . . . . . . . . . . . . . Different Type Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 FEM for Solid Mechanics Problems 3.1 3.2 3.3 Problem statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . Finite element equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assembly of the global equation system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Finite Elements 4.1 4.2 Two-dimensional triangular element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Two-dimensional isoparametric elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 Shape functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strain-displacement matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Element properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration in quadrilateral elements . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . Calculation of strains and stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shape functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strain-displacement matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Element properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Efficient computation of the stiffness matrix .. . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration of the stiffness matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calculation of strains and stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extrapolation of strains and stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Three-dimensional isoparametric elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5Discretization 5.1 5.2

CONTENTS
33 33 34 34 34 36 37 37 38 38 38 39 39 40 40 40 40 41 43 44 47 47 47 49 49 50 51 51 52 53 53

Discrete model of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesh generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 5.2.2 5.2.3 Mesh generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Mapping technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delaunay triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Assembly and Solution 6.1 6.2 6.3 Disassembly and assembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disassembly algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assembly . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 6.3.2 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 Assembly algorithm for vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assembly algorithm for matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Explicit specification of displacement BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Method of large...