Introduccion al metodo de los elementos finitos

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

1.1 INTRODUCCIÓN
El método de los elementos finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas ingenieriles, físicos, etc., ya que permite resolver casos que hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales. Esta circunstancia obligaba a realizar prototipos,ensayarlos e ir realizando mejoras de forma iterativa, lo que traía consigo un elevado coste tanto económico como en tiempo de desarrollo. El MEF permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y económico de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un método aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. Los prototipos, por lo tanto, siguensiendo necesarios, pero en menor número, ya que el primero puede acercarse bastante más al diseño óptimo.

Discretización con elementos finitos

El método de los elementos finitos como formulación matemática es relativamente nuevo; aunque su estructura básica es conocida desde hace bastante tiempo, en los últimos años ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informáticos. Han sidoprecisamente estos avances informáticos los que han puesto a disposición de los usuarios gran cantidad de

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programas que permiten realizar cálculos con elementos finitos. Pero no hay que llevarse a engaño, el manejo correcto de este tipo de programas exige un profundo conocimiento no solo del material con el que se trabaja, sino también de losprincipios del MEF. Sólo en este caso estaremos en condiciones de garantizar que los resultados obtenidos en los análisis se ajustan a la realidad.

A. Carnicero

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1.2 BREVE HISTORIA DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo demétodos de discretizado espacial y temporal y la aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde antiguo. El concepto de ‘ elementos finitos’ parte de esa idea. Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar elvolumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. Así el matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación alnúmero Pi de 3.1416. El desarrollo de los elementos finitos tal y como se conocen hoy en día ha estado ligado al cálculo estructural fundamentalmente en el campo aeroespacial. En los años 40 Courant1 propone la utilización de funciones polinómicas para la formulación de problemas elásticos en subregiones triangulares, como un método especial del método variacional de RayleighRitz para aproximarsoluciones. Fueron Turner, Clough, Martin y Topp2 quienes presentaron el MEF en la forma aceptada hoy en día. En su trabajo introdujeron la aplicación de elementos finitos simples (barras y placas triangulares con cargas en su plano) al análisis de estructuras aeronáuticas, utilizando los conceptos de discretizado y funciones de forma. El trabajo de revisión de Oden3 presenta algunas de lascontribuciones matemáticas importantes al MEF. Los libros de Przemieniecki4 y de Zienkiewicz y Holister5 presentan

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“Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of American Mathematical Society”, 49, 1-43. 1943. “Stifness and deflection analysis of complex structures”. Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-824. 1956. “Some aspects of recent...