Introduccion al calculo de probabilidades

Tema 4
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Concepto y propiedades de la probabilidad. Sucesos mutuamente excluyentes. Ley aditiva. Sucesos condicionalmente probables. Ley multiplicativa. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes. Teorema de la probabilidad total
Bibliografía
M. Sánchez, G. Frutos y P. Cuesta. Estadística y Matemática Aplicada. Ed. Síntesis. 1998. V. Quesada, A.Isidoro y L. A. López. Curso y ejercicios de estadística. Ed. Alambra Universidad. 1987.

Experimento aleatorio
FENOMENO

DETERMINISTA

ESTOCASTICO Variable Aleatoria

Variable Matemática x = (x1.., xn)
_ x1 __ x2 _______ xn ____

Espacio muestral
En el estudio de un experimento en el que interviene el azar es En el estudio de un experimento en el que interviene el azar es necesarioconocer los posibles resultados del mismo yyuna vez necesario conocer los posibles resultados del mismo una vez identificados valorar la probabilidad con la que pueden identificados valorar la probabilidad con la que pueden presentarse cada uno. presentarse cada uno. El conjunto de todos los resultados posibles de un El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio sedenomina genéricamente Espacio experimento aleatorio se denomina genéricamente Espacio muestral del experimento aleatorio y se representa muestral del experimento aleatorio y se representa genéricamente por Ω genéricamente por Ω

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Sucesos
Los subconjuntos del espacio muestral se denominan sucesos, son resultados que produce el azar al realizar el experimento aleatorio. Un resultado simple sellama suceso simple o punto muestral.
Ejemplo 1. Un experimento consiste en lanzar un dado. El espacio poblacional tiene seis elementos o sucesos simples.

Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}
Si A es el suceso obtener resultado inferior a 3, el suceso A es el subconjunto A = {1, 2}

Operaciones con sucesos
1. Unión de sucesos
A∪ B = C
A B

2. Intersección de sucesos o sucesos simultáneos
A∩ B = C
A B3. Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes
A B

A∩ B = ∅

4. Diferencia de sucesos
A

A − B = A ∩ Bc

B

5. Sucesos complementarios o contrarios: Suceso complementario de A es el que siempre ocurre cuando no ocurre A Ω

Ac = Ω− A

A

6. Suceso imposible y suceso seguro

A ∩ Ac = ∅

∅c = Ω

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Frecuencia de un suceso
Frecuencia absoluta de un suceso A, nA, es elnúmero de veces que ocurre el suceso en una serie de repeticiones del experimento en las mismas condiciones. Frecuencia relativa del suceso A es

fA =

nA n

Propiedades de la frecuencia relativa:
1ª) 2ª) 3ª)

0 ≤ f A ≤1

fΩ = 1;

f∅ = 0
si A ∩ B = ∅

f A∪ B = f A + f B

Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar un dado 10 veces. El espacio poblacional

Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}Si A es el suceso obtener resultado inferior a 3, se obtiene 4 veces y el suceso B obtener resultado superior a 5, se obtiene 3 veces, la frecuencia relativa del suceso es:

f A∪ B = f A + f B =

4 3 7 + = 10 10 10

Probabilidad
La probabilidad se asocia con el concepto de incertidumbre de sucesos. Asignación de probabilidad a los sucesos Enfoque subjetivo Enfoque frecuentista Enfoqueclásico Modelos matemáticos

Enfoque subjetivo
Cualquier probabilidad que se asigne al suceso es como consecuencia de una apreciación personal. Ventaja: se puede aplicar siempre. Inconveniente: la probabilidad obtenida no es exacta.

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Enfoque frecuentista Basado en la repetición del experimento.
P ( A) n ( A) n = numero de veces que ocurre A numero de veces que se realiza el experimentoVentaja: es aplicable siempre que el experimento sea repetible. Inconveniente: no siempre el experimento se puede repetir. La probabilidad obtenida no es exacta.
Ejemplo. Se extraen 10 comprimidos de un lote determinado y 3 son defectuosos.

P ( Defectuoso)

n (defectuosos ) 3 = n 10

Enfoque clásico
Regla de Laplace: La probabilidad de un suceso A correspondiente a un experimento...