Introduccion a la matematica

1. Resolver las siguientes ecuaciones indicando en cada paso qué propiedades de los números reales emplea: a) 3 x  1  2 3x  2  1 3x  1 x 1 3 b) 2  x  1   1 c) 2  3  0   x 5 2 2 1 5  3 x    1.  x 2 2  x 1 1 5  x  2 3 2 2 1 5 1 x  .2 x  3 2 2 2 6 x x 3 2 x  3 d) x  1  2 x  8 e) 2 x  1  2.(2 x  8) x  1  4 x  16
x  4 x  16  1 3 x  15 15 x 3x 5

x 1  x  2 2 x  x  2 1 2 x  x 1 2 x  x 1 2 x  2x 1 2 x 1 2  x  1.2 x  2.(1) x  2

2. Resolver las siguientes ecuaciones teniendo en cuenta los dominios respectivos: a) ( x  2)( x  3)  0 en lugar de realizar la distribución de los paréntesis conviene pensar en lo siguiente: si A y B son dos términos cualesquiera, A.B=0 implica que o bien A=0 ó B=0 ó A=B=0. EntoncesI)
x20 x3 0 II) x  2 x  3

Entonces la ecuación se cumple para ambos valores de x

b) ( x  2)( x  3)  12

x  3 x  2 x  6  12 x 2  5 x  12  6 x 2  5x  6 x 2  5x  6  0

2

Obtenemos entonces una ecuación cuadrática con la pinta ax 2  bx  c  0 la cual resolvemos aplicando la resolvente
b  b 2  4 ac Siendo en este caso a  1, b  5, c  6 2a

5  52 4.1.(6) 5  25  24 5  49 5  7     2.1 2 2 2

x1 

5  7 12   6 2 2 5  7 2 x2   1 2 2

c) x 2 ( x  2)  16( x  2) hay varias formas de resolver esta ecuación pero sugerimos analizar lo siguiente: si tenemos tres términos cualesquiera A, B y C entonces si A.B=C.B implica que A=C siempre y cuando B≠0

Volviendo a nuestro caso particular vemos al término ( x  2) en amboslados de la igualdad lo que implica que x 2  16 salvo cuando x  2  0 que al multiplicar ambos miembros de la igualdad resulta 0=0 sin importar que se cumpla x 2  16

x 2  16 | x | 16 | x | 4 x  4 x 1 x2  4

x0  0
Entonces esta ecuación se cumple para tres equis: x1  4

x2  4

d) x 4  5 x 2  4  0 esta ecuación pertenece a un grupo particular de ecuaciones llamadas ecuacionesbicuadradas las cuales se caracterizan por ser ecuaciones de cuarto grado sin tener términos impares, en síntesis son de la pinta: ax 4  bx 2  c  0 siendo en nuestro caso a  1, b  5, c  4 . La resolución de la misma se logra efectuando un cambio de variable x 2  t por lo que nuestra ecuación, luego del cambio de variable, quedaría t 2  5t  4  0 (considerar que si x 2  t  x 4  x 2.x 2  t.t  t 2 ) Ahora con nuestra ecuación resultante procedemos a  aplicar la resolvente como hicimos en el punto b) de este mismo ejercicio. Entonces t 2  5t  4  0 y los coeficientes son a  1, b  5, c  4 53 2 t1   1 2 (5)  (5)  4.1.4 5  25  16 5  9 5  3 2 2     53 8 2.1 2 2 2 t2   4 2 2 Ahora bien, estas soluciones no son exactamente las que buscamos pues nuestravariable es x entonces el último paso es volver a cambiar de variable: x 2  t : reemplazamos t por t1 y t2 Entonces las equis que satisfacen la 2 2 ecuación x 4  5 x 2  4  0 son: x  t1  1 x  t2  4 x1  1 x2  1 x2  4

| x | 1 

x1  1 x2  1

| x | 4  2 

x3  2 x4  2

x2   1 x3  2 x4   2

2x  4  0 cuando en una ecuación tenemos un cociente es muy importanteponer en x 1 manifiesto el dominio de dicha ecuación para luego excluir soluciones que no se hallen dentro del dominio. En este caso cuando x=1 el denominador se hace cero por lo que el dominio, o sea las posibles equis, son todas x1 . Entonces procedemos: 

e)

2x  4 0 x 1 2 x  4  0.( x  1)  0 



2x  4 4 x 2 2

f) 2 x  4

x 1 2 x  4  4.( x  1) 2x  4  4x  42 x  4 x  4  4 2 x  0 x0
h) x 3 ( x  1)  x( x  1)  0

4

g)

x 2  3x  1  x 2  4 x  2 x 2  3x  x 2  4 x  2  1 7x  3 x 3 7

aplicando la propiedad distributiva ( x3  x)( x  1)  0 El razonamiento para resolver este problema es análogo al usado en el punto a) de este mismo ejercicio.

( x  1)( x3  x)  0
x3  x  0
x 1  0 x  1

x ( x 2  1)  0...