Inversa De Una Matriz

CAMPUS CELAYA SALVATIERRA

LIC. INGENIERIA CIVIL.
ALGEBRA LINEAL

MATRICES INVERSAS

HERNANDEZ SILVA MARIA FERNANDA.
MARTINEZ FLORES OSCAR.
HERNANDEZ SANCHEZ OSCAR AGUSTIN.
PEREZ RAMIREZEFRAIN
19 de septiembre de 2011
Matrices Inversas.
DEFINICION:
Una matriz A de n x n es no singular (o invertible ) si existe un matriz B de n x n tal que :
AB = BA = In
De tal forma que lamatriz B es la matriz inversa de A, si no existe la matriz B, entonces B es singular ( o no invertible).
A lo anterior sean:

Decimos que B es inversa de A, A es no singular.

Propiedades de lasinversas.
* Si A es una matriz no singular, entonces A-1 es no singular y : (A-1)-1 = A.
* Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es no singular:(AB-1) = A-1B-1.
* Si A es unamatriz no singular entonces:
(AT)-1 = (A-1) T
Nota: Deberán ser matrices cuadradas y sus determinantes serán diferentes de cero.

Teorema.
* Si una matriz tiene inversa, la inversa de dichamatriz es única.
Exponiendo lo anterior en una matriz de 2 x 2:
A = Para obtener A -1 =

De modo que:

Igualando las matrices correspondientes obtenemos las siguientesecuaciones:

Obteniendo que a = -2 b = 1 c = 3/2 d = - 1/2.

Concluimos que A es no singular y A-1 es:

Método de obtención de la inversa de un una matriz.
1) Formar la matriz n x 2n, obtenidade adjuntar la matriz identidad In , ( A : Ia) la matriz dada A.
2) Transformar la matriz obtenida en el paso 1 a su forma escalonada reducida por eliminación de Gauss Jordán, recordando que lasoperaciones de toda fila afectara a la identidad In.
3) Supongamos que en el paso dos obtenemos ( C : D ) de forma escalonada reducida entonces existirán dos casos:

a) Si C = Inentonces D = A-1
b) Si C no es = que In , entonces C tiene una fila de ceros, en ese caso A es singular y A-1 no existe.

Aplicación.
Dada la matriz 3 x 3.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:...